Calculo

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

NUMERO REAL.

Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracciónde números enteros con denominador diferente a cero).

Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo de número complejo) y números trascendentes (un tipo de número irracional).

Es importante tener en cuenta que los números reales permiten completar cualquier tipo de operación básica con dos excepciones: las raíces de orden par de los númerosnegativos no son números reales (aquí aparece la noción de número complejo) y no existe la división entre cero (no es posible dividir algo entre nada).

TRICOTOMIA.

En particular, en los Números Reales, además de las propiedades de producto y suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vital importancia para la Matemática, que es el orden. En otras palabras[pic]es un conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si [pic]y [pic]pertenecen a [pic], entonces se puede decir si la afirmación [pic]es verdadera o no. De forma precisa se puede decir que para cada [pic]y [pic]en [pic]se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones
[pic] ; [pic] ; [pic]
Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de Tricotomía.
Nótese que una consecuenciainmediata de esta ley, es que si [pic], entonces [pic]es distinto de [pic]. Dicho de otra forma, no existe ningún número real [pic]tal que [pic].

LIMITES

Sea f(x)  una función y a un número fijo.
Supongamos que el codominio de f contiene intervalos abiertos (c,a) y (a,b), para algún número  ca, como en la figura (G.1).
 
[pic]
 
Si al aproximarse x hacia a, tanto por su izquierda como por suderecha (esto también es equivalente a decir que existe tanto el limite de la función tanto por la izquierda como por la derecha), f(x) tiende a un número específico S, entonces S se llama el límite de f(x) cuando x tiende hacia a.
Lo cual se representa de la siguiente forma:
[pic]

PROPIEDADES DE LOS LIMITES

El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo diciendo:Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto).
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite de la suma es igual a la suma de los límites).
lim (f(x) + g(x)) = limf(x) + lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del producto es igual al producto de los límites).
lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si ellímite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto de cero), entonces el limite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del cociente es igual al cociente de los límites).
lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en elpunto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f g , en el punto x = a, es l m.
lim (f(x))g(x) = lim (f(x))lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido)  en el punto x =...