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Ejercicios de derivadas e integrales

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Departament d’Estad´ıstica i Investigaci´
o Operativa
Universitat de Val`
encia

Derivadas
Reglas de derivaci´
on

Suma

Producto

d
[f (x) + g(x)] = f (x) + g (x)
dx
d
[kf (x)] = kf (x)
dx
d
[f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x)
dx

CocienteRegla de la cadena

d f (x)
f (x)g(x) − f (x)g (x)
=
dx g(x)
g(x)2
d
{f [g(x)]} = f [g(x)]g (x)
dx
d
{f (g[h(x)])} = f (g[h(x)])g [h(x)]h (x)
dx

Potencia

d k
(x ) = kxk−1
dx

d
[f (x)k ] = kf (x)k−1 f (x)
dx

d √
d 1/2
1
( x) =
(x ) = √
dx
dx
2 x

d
[
dx

d
dx

d
1
f (x)
=−
dx f (x)
f (x)2

1
x

=

d −1
1
(x ) = − 2
dx
x

f (x)] =

f (x)2

f (x)

2

Reglas de derivaci´
on (continuaci´
on)

Trigonom´
etricas

Funciones de arco

Exponenciales

d
(sin x) = cos x
dx

d
[sin f (x)] = cos f (x)f (x)
dx

d
(cos x) = − sin x
dx

d
[cos f (x)] = − sin f (x)f (x)
dx

d
(tan x) = 1 + tan2 x
dx

d
[tan f (x)] = [1 + tan2 f (x)]f (x)
dx

d
1
(arcsin x) = √
dx
1 − x2

d
[arcsin f (x)] =
dxd
−1
(arc cos x) = √
dx
1 − x2

d
[arc cos f (x)] =
dx

d
1
(arctan x) =
dx
1 + x2

d
f (x)
[arctan f (x)] =
dx
1 + f (x)2

d x
(e ) = ex
dx

d f (x)
(e
) = ef (x) f (x)
dx

d x
(a ) = ax ln a
dx

d f (x)
(a
) = af (x) ln af (x)
dx

d
1
(ln x) =
dx
x

d
f (x)
(ln f (x)) =
dx
f (x)

d
1 1
(lg x) =
dx a
x ln a

d
f (x) 1
(lg f (x)) =
dx af (x) ln a

f (x)
1 − f (x)2
−f (x)
1 − f (x)2

Logar´ıtmicas

3

Ejercicios de derivadas
1. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l´ıneas
tangentes a la curva y = x3 cuando x = 1/2 y x = −1, construir la gr´afica y representar
las l´ıneas tangentes.
Soluci´
on.- a) 3/4, b) 3.
2. Determinar las tangentes de los ´angulos que formancon el eje positivo de las x las l´ıneas
tangentes a la curva y = 1/x cuando x = 1/2 y x = 1, construir la gr´afica y representar
las l´ıneas tangentes.
Soluci´
on.- a) -4, b) -1.
3. Hallar la derivada de la funci´on y = x4 + 3x2 − 6.
Soluci´
on.- y = 4x3 + 6x.
4. Hallar la derivada de la funci´on y = 6x3 − x2 .
Soluci´
on.- y = 18x2 − 2x.
5. Hallar la derivada de la funci´on y =Soluci´
on.- y =

5x4
a+b

−

x2
a−b .

−

2x
a−b .

6. Hallar la derivada de la funci´on y =
Soluci´
on.- y =

x5
a+b

x3 −x2 +1
.
5

3x2 −2x
.
5

7. Hallar la derivada de la funci´on y = 2ax3 −

x2
b

+ c.

2x
b .

2

Soluci´
on.- y = 6ax −

5

7

8. Hallar la derivada de la funci´on y = 6x 2 + 4x 2 + 2x.
5

3

Soluci´
on.- y = 21x 2 + 10x 2 + 2.9. Hallar la derivada de la funci´on y =
Soluci´
on.- y =

√
√3
2 x

+

3

1
√
3 2
x

−

3(x+1)2 (x−1)
5

2x 2

1
2 √
3 3x

−

x + x1 .

(x+1)3
3

x2

.

√
3

√
x2 − 2 x + 5.

√1 .
x

12. Hallar la derivada de la funci´on y =
2

√
3

.

11. Hallar la derivada de la funci´on y =
Soluci´
on.- y =

3x +

1
x2 .

10. Hallar la derivadade la funci´on y =
Soluci´
on.- y =

√

5

2
ax
√
3
x

+

b
√
x x

−

√
3
√x .
x

7

Soluci´
on.- y = 53 ax 3 − 23 bx− 2 + 16 x− 6 .
13. Hallar la derivada de la funci´on y = (1 + 4x3 )(1 + 2x2 ).
Soluci´
on.- y = 4x(1 + 3x + 10x3 ).
14. Hallar la derivada de la funci´on y = x(2x − 1)(3x + 2).
Soluci´
on.- y = 2(9x2 + x − 1).

4

15. Hallar la derivada dela funci´on y = (2x − 1)(x2 − 6x + 3).
Soluci´
on.- y = 6x2 − 26x + 12.
16. Hallar la derivada de la funci´on y =
Soluci´
on.- y =

2x4
b2 −x2 .

4x3 (2b2 −x2 )
(b2 −x2 )2 .

17. Hallar la derivada de la funci´on y =

a−x
a+x .

2a
Soluci´
on.- y = − (a+x)
2.

18. Hallar la derivada de la funci´on f (t) =
t2 (3+t2
(1+t2 )2 .

Soluci´
on.- f (t) =

19. Hallar la...