calculo



Ecuaciones Diferenciales

Concepto:
Es una ecuación en la que la incógnita es una función y en la que además de la propia incógnita aparecen derivadas suyas . Las derivadas pueden ser parciales , en cuyo caso estamos ante una ecuación en derivadas parciales (abreviada comúnmente como EDP)o bien totales , en cuyo caso se denomina ecuaciones diferencial ordinaria (EDO)
ECUACIONESDIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN :
Hipótesis de Bernoullí: “durante la deformación de una pieza recta sometida a esfuerzo axil las secciones transversales permanecen planas y paralelas a si misma ”, lo cual conduce a que todos los puntos de la sección sometida a un esfuerzo axial en su baricentro mecánicose deforman una misma magnitud . Esta deformación  puede escribirse en función de losdesplazamientoaxiales u como



Una expresión diferencial que relaciona una medida de deformación () con componentes de des-aplazamiento (u) se denomina una relación (o ecuación) cinemática . La expresión de la deformación específica (x) resulta de comparar la longitud del elemento diferencial antes ( ds = dx)  y después que se desplace











La tensión en cada punto de la sección se obtiene apartir de la ley de Hooke

Una expresión que relaciona una medida de tensión () con una medida de deformación () se denomina una relación constitutiva (define el comportamiento mecánico del material constitutivo).
Si la sección es homogénea será la misma tensión para todos los puntos de la sección. Recordemos que el esfuerzo axial N se define como la integral de las tensiones axiales sobre lasección






Si la sección es homogénea



Si la sección no es homogénea se define el valor





Consideremos una barra de sección transversal A (constante o de variación suave, sometida a una carga distribuida p(x) en la dirección del eje de la barra. Se ha supues toque la variación de la sección es suficien temente suave de tal forma que es aceptable la hipótesis de Bernoulli de quela deformación  es uniforme en cada sección. El elemento diferencial de barra(una rebanada) se define como el limitado por dos secciones separadas un diferencial dx
El equilibrio de este elemento diferencial resulta de sumar esfuerzos internos y fuerzas externas actuando sobre el mismo.



Si el área de la sección es constante la ecuación anterior se simplifica a :


Que es una ecuacióndiferencial
Ordinaria : es función de una única coordenada x.
De segundo orden : el máximo orden de derivación que aparece es 2
Lineal : no hay productos entre las variables o entre las variables y sus derivadas
A coeficientes constantes : los coeficientes que multiplican ala incógnita y sus derivadas no dependen de la coordenada x.


ECUACIONES LINEALES Y CASI-LINEALES:
Las ecuaciones deprimer orden, en general, presentan interpretaciones geométricas interesantes. Será conveniente entonces restringir la discusión al caso de dos variables independientes, pero es claro que la teoría podrá ser extendida inmediatamente a cualquier número de variables. Consideramos entonces ecuaciones de la forma



Donde hemos usado las notaciones Una solución Z=u (x,y) cuando la interpretamoscomo una superficie en el espacio tridimensional,será llamada una de la ecuación diferencial. superficie integral Comenzamos con la ecuación diferencial parcial generada



Notamos que el lado izquierdo de esta igualdad representa la derivada de u(x,y) en a dirección (a(x,y)b(x,y)). Por lo tanto consideremos las curvas en el x,y – plano , cuyas tangentes en cada punto tienen estas direccioneses decir, la familia a un parámetro de curvas definidas por las ecuaciones diferenciales ordinarias



Asi estas curvas tendrán la propiedad de que , a lo largo de u(x,y)satisfacen las ecuaciones diferenciales ordinarias.



La familia a un parámetro de curvas definidas por la ecuación serán llamdas las curvas características de la ecuación diferencial. Supóngase ahora que a u(x,y)se...