Calculo

Derivada direccional
En el análisis matemático, la derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dichovector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.
Definición general[editar]
La derivada direccional de una funciónescalar:

en la dirección del vector:

es la función definida por el límite:

Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su gradiente 

donde "" denota el productoescalar o producto punto entre vectores. En cualquier punto , la derivada direccional de f representa intuitivamente la tasa de cambio de f con respecto al tiempo cuando se está moviendo a una velocidad ydirección dada por  en dicho punto.


Un diagrama de curvas de nivel de la ecuación , mostrando el vector gradiente en azul, y el vector unitario escalado por la derivada direccional en la direcciónde  en anaranjado. El vector gradiente es más largo porque apunta en la dirección de la mayor tasa de incremento de una función.


Propiedades
Muchas de las propiedades conocidas delas derivadas se mantienen en las derivadas direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de funciones  y  definidas en lavecindad de un punto , donde son diferenciables:
Regla de la suma:

Regla delfactor constante:

donde  es cualquier constante.
Regla del producto (o fórmula de Leibniz):

Regla de la cadena: Si  es diferenciable en el punto  y  es diferenciable en , entonces:


Derivadasparciales de orden superior[editar]
A su vez, la derivada parcial  puede verse como otra función definida en U y derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas,llamamos a funa función C2; en este caso, las derivadas parciales (llamadas parciales) pueden ser intercambiadas por el teorema de Clairaut también conocido como teorema de Schwarz.

En R2, si se...