Calculo
CÁLCULO VECTORIAL FUNCIONES VECTORIALES
Conceptos fundamentales Definición. Una función vectorial de variable vectorial es una n regla que asocia a cada punto " r " de una cierta región S ⊂ m un vector F r ∈ y se denota como
()
F :S∈
n
→
m
Al conjunto " S " de valores que toma la variable independiente, se le denominadominio y al conjunto de valores que toma F r se le llama imagen o recorrido. Las
()
funciones vectoriales se conocen también como campos vectoriales y aquí se clasificarán en: - Campos vectoriales de variable escalar - Campos vectoriales de variable vectorial Definición. Un campo vectorial de variable escalar es una función vectorial con dominio en los reales, es decir, cuando n = 1 . En dos ytres dimensiones se acostumbra representar como:
F: →
2
⇒
F (t ) = x (t ) i + y (t ) j
∧
∧
F:
→
3
⇒
F (t ) = x (t ) i + y (t ) j + z (t ) k
∧
∧
∧
Ejemplos de funciones vectoriales de variable escalar:
i)
ii )
F (t ) = t i + t
∧
3
∧
j
∧ ∧
F (θ ) = a (θ + senθ ) i + a (1 − cos θ ) j
2
iii )
iv )
F ( t ) = ( x 0 + at ) i + ( y 0 +bt ) j + ( z 0 + ct ) k
F ( v ) = a co s v i + b v j + a sen v k
∧ ∧ ∧
∧
∧
∧
Sus gráficas son las siguientes:
Cuando el dominio de la función vectorial es de dimensión mayor de uno, o sea, n > 1 se tiene el caso de funciones vectoriales de variable vectorial. Ejemplos de funciones vectoriales de variable vectorial:
i) F ( t , s ) = ( x0 + a1 s + a 2 t ) i + ( y 0 + b1 s + b2 t )j + ( z 0 + c1 s + c 2 t ) k
∧ ∧ ∧
ii )
iii )
F ( u , v ) = u cos v i + usenv j + u k
2
∧
∧
∧
F ( u , v ) = senu cos v i + senusenv j + cos u k
∧
∧
∧
Sus gráficas son las siguientes:
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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Límites y continuidad de funciones vectoriales Definición. El límite de una función vectorial, cuando la variable
r∈
n
tiende al punto r0 ∈ , denotado como lim F r = I
n
r→ r
0
( )
existe sí y sólo si para ε > 0
F
(r ) − I
y δ > 0 se cumple que:
0
< ε siempre que 0 < r − r
n
< δ
Teorema. Sea F :
F r = ⎡ y1 r , y 2 r , ⎣
( )
→
m
definida por
( )
( )
, ym r ⎤ ⎦
( )
Entonces:
r→ r0
lim F r = ⎡ lim y 1 r , lim y 2 r , ⎢ r→ r0 r→ r0 ⎣
( )
( )
( )
, lim y m r ⎤ ⎥r→ r0 ⎦
( )
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Teorema. Propiedades. Sean
lim tales que r → r 0 F r = A
que:
()
F:
n
y
r →r 0
lim G r = B , entonces se cumple
()
→
m
y G:
n
→
m
i)
ii )
Si A existe, es único.
r→ r0
lim ⎡ k F r + G r ⎤ = k A + B ; k ∈ ⎣ ⎦ iii ) lim ⎡ F r ⋅ G r ⎤ = A ⋅ B ⎦ r→ r0 ⎣ iv) Para m = 3 ; lim ⎡ F r × G r ⎤ = A × B ⎦r→ r0 ⎣
() () ( ) ( )
A
( )
( )
v)
r→ r0
lim F
(r ) =
Ejemplo. Calcular
π ⎛ sen t ∧ 2 − ∧ ⎜ 2 i− t − 1 j+ e li m ⎜ t→1 1− t t ⎜ ⎝
1 t −1
⎞ ⎟ k ⎟ ⎟ ⎠
∧
Ejemplo. Calcular rlim F ( r ) si →r 0
⎛ x ⎞ ∧ x 2 − 2 xy + y 2 ∧ F ( x , y ) = xa n g tan ( xy ) i + ln ⎜ ⎟ j + k y⎠ x2 y − y3 ⎝
∧
;
r 0 = (1,1 )
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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ContinuidadDefinición. Sea F :
→ m una función vectorial. Se dice que F es continua en r 0 ∈ n sí y sólo si se cumple que
n
r→ r
lim F
0
Definición. Se dice que F r es continua en r = r 0 si se cumple que
r→ r0
()
(r ) =
F
(r )
0
lim F r − F r 0
()
( )=0
o bien
∆ r→ 0
li m ∆ F = 0
Derivadas Definición. i ) Sea F :
→
m
una función vectorial de variable escalar" t " . Entonces se define a la derivada de F en t0 como:
d F (t ) F (t0 + ∆ t ) − F (t0 ) = lim ∆t → 0 dt ∆t (siempre que el límite exista)
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ii )
Sea F : n → m una función vectorial de variable vectorial r = ( x1 , x 2 , , x n ) , esto es, F ( r ) = F ( x1 , x 2 , , x n ) . Entonces se
la derivada
0 0
0 , x n ) como:
define
0 r 0 = ( x10 ,...
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