Calculo

Cálculo (I), curso 2013-2014

Examen parcial

|𝑥 − 2| ≤ 2𝑥
} . Representa sobre la
|3 − 2𝑥| > 1
recta real el resultado de cada una de las dos condicionesy la intersección de ambas.

1. [1p] Encuentra los valores de x que satisfagan que

2. [1.5p] Cuestiones breves de complejos
1+𝑖−𝑖 2

a) Calcula −𝑖 3 +𝑖 4+𝑖 5 . Indica las operaciones.
b) Sean 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑦1 𝑖 , 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑖 . Demuestra que ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑧1 · 𝑧2 = 𝑧̅1 · 𝑧̅2
c) Utilizando exponenciales complejas, hallaslas expresiones de 𝑠𝑒𝑛 (𝛼 + 𝛽) y 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 + 𝛽)
en función de 𝑠𝑒𝑛 𝛼 y 𝑐𝑜𝑠 𝛼 , indicando cómo lo calculas.
3. [2p] Sea 𝑧 = −1 + 𝑖 .
a) Escribe z en forma polar(módulo-argumento) y represéntalo.
b) Calcula 𝑧 6 y exprésalo en forma binomial. Indica las operaciones.
2

c) d) Calcula todas las soluciones de 𝑧 3 y exprésalas enforma binomial, indicando cómo
las calculas.
4. [1.5p] Sea 𝑓(𝑥) =

1
𝑥

𝑥 𝑠𝑒𝑛( )
𝑥+1

para 𝑥 ≠ 0.

a) Calcula lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥)
b) c) Calcula los límiteslaterales en 𝑥 = 0 y, en el caso de que la discontinuidad fuera
evitable, di el valor que habría que asignar a 𝑓(0) para que la función fuera continua.
5. [1p] Sea𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑒 −𝑥
𝑑2 𝑓

𝑑𝑓

a) Calcula 𝑑𝑥 (𝑥) y 𝑑𝑥 2 (𝑥), indicando las operaciones.
𝑑𝑛 𝑓

b) Demuestra por inducción matemática que 𝑑𝑥 𝑛 (𝑥) = (−1)𝑛 (𝑥 − 𝑛)𝑒 −𝑥
6. [1p] Calcula los dos primeros términos no nulos del desarrollo en serie de Taylor en x=0 para:
a) 𝑐𝑜𝑠 𝑥
b) 𝑙𝑛 (1 + 𝑥)
c) d) 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1
7. [2p] Calculaindicando las operaciones:
a) lim𝑛→∞ √𝑛4
b) lim𝑥→−1

𝑛+1
−2𝑛3 +1−𝑛2

𝑥 9 +1
𝑥+1
1

c) lim𝑥→0 (cos 𝑥)𝑥2
d) lim𝑥→0

𝑥−ln(1+𝑥)
cos 𝑥−1

1...