Calculo

Ejercicios de continuidad y derivabilidad en una variable
Ejercicio 1 Enuncia todos los resultados te´ricos que conozcas sobre funciones continuas y pon ejemplos o de como se utilizan.Usando estos resultados, prueba que la imagen por una aplicaci´n continua de un o intervalo cerrado y acotado es un intervalo cerrado y acotado. Ejercicio 2 Define lo que se entiende porinfinit´simos, y por infinit´simos equivalentes. Da infinit´simos e e e equivalentes a x y a x2 en x = 0 Ejercicio 3 Calcula los siguientes l´ ımites sin utilizar las herramientas del c´lculo diferencial a x3+ 2x2 + x x→−1 x4 − 2x2 + 1 l´ ım
x→∞

x→∞

l´ (1 + ım l´ ım

1 1−x3 ) x l´ ım

x→2

l´ ım

tag (x − 2) 3x − 6
2

l´ sen x ım

sen x x→∞ x

1 − ex x→0 2x2

Ejercicio 4Calcula a partir de la definici´n ( y usando infinit´simos equivalentes si fuese necesario) las o e derivadas de: xn , sen x, log x Ejercicio 5 Para las funciones 1, x y x2 , calcula en los puntos0, 1 y 2 las rectas tangentes y normales a sus gr´ficas. Calcula as´ mismo las aplicaciones diferenciales en un punto a. a ı Ejercicio 6 Enuncia los principales resultados te`ricos sobrefunciones diferenciables. Pon ejemplos seno cillos de aplicaci´n. o Ejercicio 7 Utiliza el teorema de la funci´n inversa para calcular las derivadas de las funciones ex , o arc sen(x), arc cos(x) yarc tg(x). A partir de la derivada de ex calcula las derivadas de αx y de xα . Ejercicio 8 Halla la distancia m´ ınima de y = 4 − x2 al punto (0, 2). Ejercicio 9 Con t´cnicas de c´lculodiferencial prueba la equivalencia en 0 de los infinit´simos ex − 1 ∼ e a e x2 . Calcula adem´s el siguiente l´ a ımite l´ x2 e1/x . ım log(1 + x) ∼ tag x ∼ sen x ∼ x ; 1 − cos x ∼ x→0 2 x2 . ¿Sepuede extender a una funci´n continua en o x−1 x todo R. Haz lo mismo con x , definida en (0, ∞). ¿Se puede extender con continuidad en 0? Ejercicio 10 Representa graficamente la funci´n o...