calculo

2.5 COORDENADAS POLARES
El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro θ, tendríamos otra forma de definir un punto.
Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor de ry el valor de θ. Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado ( ) r, θ, en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto.
Con coordenadas polares señalas un punto diciendo la distancia y el ángulo que se forma:

(Distancia y Angulo)
Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puedehacer directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia ángulos y magnitudes.
Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o Plano Polar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación.

Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical se lollama “Eje 2π”. El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama “Polo”.

Si queremos localizar un punto (r, q) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación q y, por último, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el quequeríamos localizar.

A continuación localizamos varios puntos en el plano polar.
(Puntos en el plano con radianes)

Observa que hay tres circunferencias, todos los puntos sobre estas circunferencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo único que hace falta es encontrar el ángulo de inclinación. Para medir el ángulo es necesario tomar en cuenta si este es positivo o negativo.Si es positivo hay que medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y si es negativo, a favor del movimiento de las manecillas del reloj.


(Circunferencia para medir ángulos positivos)(Circunferencia para medir ángulos negativos)
Como ves los ángulos pueden ser negativos dependiendo de cómo se midan a partir del eje polar.
(Ángulos en el eje polar)
También podemos tener distancias "negativas": ya que hayamos localizado el ángulo, la recta que parte del polo en esa dirección tendrán un radio positivo ylos puntos que estén sobre la prolongación de esta recta en sentido contrario al polo tendrán un radio negativo. Por ejemplo:

(Distancias positivas y negativas)

Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de coordenadas polares, podemos graficar funciones y no solo puntos. En este tipo de funciones la variable independiente es q y la dependiente es r, así que lasfunciones son del tipo r = r (q). El método para graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r (q) en coordenadas rectangulares y a partir de esa gráfica trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la dependencia de r con respecto a q.

2.6 GRAFICACIÓN DE CURVAS PLANAS EN COORDENADAS POLARES.
Graficación del Plano Polar de una Curva
Las curvas polares, adiferencia de las curvas algebraicas, son definidas principalmente en términos de su ángulo, este es.
Un polo está situado en un lugar de manera tal que el valor de es siempre cero para todos los valores de r.
Por lo tanto, graficar una función polar es diferente que graficar una función algebraica. El pre-requisito fundamental para graficar una función polar es un sistema de coordenadas...