Calculo

Cap´
ıtulo 1
C´lculo diferencial e integral II
a

1

Universidad Nacional del Altiplano

1.1.

2

Problemas de vectores, rectas y planos

−
→−
→
1. Dados los puntos A(3, −1, 2) y B (−1, 2, 1). Halle las coordenadas de los vectores AB y BA
→
a
2. Halle el punto N , con el que coincide el extremo del vector − = (3, −1, 4), si su origen es
el punto M = (1, 2, −3)
−
3. Dadoel m´dulo del vector ||→|| = 2 y los ´ngulos directores α = 45◦ , β = 60◦ y θ = 120◦ ,
o
a
a
→ sobre los ejes coordenados.
−
calcular la proyecci´n del vector a
o
→
4. Calcular los cosenos directores del vector − = (12, −15, −16)
a
5. ¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ´ngulos siguientes:
a
a ) α = 45◦ , β = 60◦ y θ = 120◦
b ) α = 45◦ , β = 135◦ y θ = 60◦
c ) α =90◦ , β = 150◦ y θ = 60◦ ?
6. Hallar las coordenadas del punto M , si su radio vector forma con los ejes coordenados
´ngulos iguales y su m´dulo es igual a 3.
a
o
→
7. Un vector − forma con los ejes OX y OY los ´ngulos α = 60◦ , β = 120◦ . Calcular sus
a
a
− || = 2.
→
coordenadas, sabiendo que || a
−
→
→
−
→
→−
→→
8. Dado: ||− || = 13, || b || = 19 y ||− + b || = 24, calcular ||− −b ||
a
a
a
−
→
−
→
−
−
9. Los vectores → y b son perpendiculares entre s´ y ||→|| = 5, || b || = 12. Determinar
a
ı
a
→
→
−−
→−
||→ − b || y ||− + b ||
a
a
→
−
→
→−
−
10. Los vectores − y b forman un ´ngulo θ = 60◦ , sabiendo que ||→|| = 5, || b || = 8.
a
a
a
→
−
→−
→→
Determinar ||− − b || y ||− + b ||
a
a
→
→−
11. ¿Qu´ condiciones deben satisfacer losvectores − y b para que satisfagan las siguientes
e
a
relaciones?
→
−
→−
→→
a ) ||− + b || = ||− − b ||
a
a
→
−
→−
→→
b ) ||− + b || < ||− − b ||
a
a
→
−
→−
→→
c ) ||− + b || > ||− − b ||
a
a

−
−
→→
→→
12. ¿Qu´ condiciones deben satisfacer los vectores − y b para que el vector − + b bisecte
e
a
a
→
−−
el ´ngulo formado por los vectores → y b ?
a
a
−
→
−
a
13.Determinar para que valores de α y β los vectores → = (−2, 3, β ) y b = (α, −6, 2) son
colineales.
−
→
−
−
→
→→
−
→
14. Demostrar la identidad: ||− + b ||2 + ||→ − b ||2 = 2(||− ||2 + || b ||2 ), y averiguar su
a
a
a
significado geom´trico.
e
→
→
→
→−
−−
→−
a
a
a
15. Demostrar que: −− . b ≤ ||→|||| b || ≤ − . b

J.R. Ticona P.

Universidad Nacional del Altiplano

3−
→
16. Se dan dos puntos A = (3, −4, −2), B = (2, 5, −2). Hallar la proyecci´n del vector AB sobre
o
el vector que forma con los ejes coordenados OX y OY los ´ngulos α = 60◦ , β = 120◦ y
a
con el eje OZ un ´ngulo obtuso θ.
a
−
→
→
π
−−
→
a
17. Los vectores → y b forman un ´ngulo θ = , sabiendo que ||− || = 6 y || b || = 5, Calcular
a
a
6
→
−−
||→ × b ||
a
−
→
−
→
→→→
→−
18. Se da: ||− || = 10 , || b || = 2 y − . b = 12. Calcular ||− × b ||
a
a
a
→
−
→
→−
→
19. Los vectores − y b son perpendiculares entre s´ sabiendo que: ||− || = 3 y || b || = 4,
a
ı,
a
calcular:
−
→
→→
−−
a ) ||(− + b ) × (→ − b )||
a
a
→
−
→
→−
→
b ) ||(3− − b ) × (− − 2 b )||
a
a
→
−→−
→
→
→− →
20. Los vectores − , b y − de I 3 satisfacen la condici´n: →+ b + − = 0 . Demostrar que:
a
c
R
o−
a
c
− ×− =− ×− =− ×−
→→→→→→
a
b
b
c
c
a
21. Demostrar que los cuatro puntos A(1, 2, −1), B (0, 1, 5), C (−1, 2, 1) y D(2, 1, 3) est´n
a
situados en un plano.
22. Calcular el ´rea del tetraedro cuyos v´rtices son los puntos A(2, −1, 1), B (4, 1, −2), C (6, 3, 7)
a
e
y D(−5, −4, 8)
e
23. El volumen del tetraedro es 5, y tres de cuyosv´rtices son los puntos A(2, 1, −1), B (3, 0, 1),
C (2, −1, 3). Hallar las coordenadas del cuarto v´rtice, si se sabe que est´ en el eje OY .
e
a
24. Dados los v´rtices A(2, 3, 1), B (4, 1, −2), C (6, 3, 7) y D(−5, −4, 8). Hallar la longitud de
e
su altura bajado desde el v´rtice D.
e
25. Halle la ecuaci´n del plano que pasa por el punto P0 (2, 1, −1) y cuyo vector normal es
o
− = (1,...