Calculo

Asignatura:

Calculo I

Tema:

Aplicaciones de la derivada

Estudiante:

Angie Lisbeth Figuereo Sosa 100210969

Omar Eliezer Solano P. 100196182

Marlenis Mateo Tejeda 100175725

Yuleysi Rodríguez madé 100091919

Yumi A. Delgado Eusebio 100211946

Iván J. Felipe Arias 100092370

Indhira Patricia Luna Wisky 100183231

Sección:
35
Profesor:

Enddy Peña

13 deabril del 2012





Extremos de una función



Yumi A. Delgado Eusebio 100211946

Simbología

• Se utiliza f´(x) que representa la derivada de una función y f (x) representa una función.´

• Se utilizan los paréntesis ( ), corchetes [ ], las laves }.



Introducción preliminar

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamentecomo extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).



Definición

De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos)son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.











Procesos matematicos.



Cálculo de extremos locales

Dada una función suficientemente derivable [pic], definida en un intervalo abierto de [pic], el procedimiento para hallar los extremos de esta función es muy sencillo:Se halla la primera derivada de [pic]

Se halla la segunda derivada de [pic]

Se iguala la primera derivada a 0: [pic]

Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: [pic].

Se halla la imagen de cada [pic]sustituyendo la variable independiente en la función.

Ahora, en la segunda derivada, se sustituye cada [pic]:

Si [pic], se tieneun máximo en el punto [pic].

Si [pic], se tiene un mínimo en el punto [pic].

Si [pic], debemos sustituir [pic] en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que [pic] no sea nulo, hay que ver qué derivada es:

Si la derivada es par, se trata de un extremo local; un máximo si [pic] y un mínimo si [pic]

Si la derivada no es par, se trata de un punto deinflexión, pero no de un extremo.



Ejemplos



Sea [pic].

Hallar sus extremos locales y sus puntos de inflexión.  

Dada la función [pic], se tiene que:

[pic]

[pic]

[pic]

▪ Extremos:

[pic]

[pic] existe un máximo en [pic].

[pic] existe un mínimo en [pic].

▪ Puntos de inflexión

[pic].

[pic] existe un punto de inflexión en [pic].





Grafica[pic]





Extremos de una función de varias variables. 



Definición. 

Una función [pic] tiene un máximo (mínimo) en un punto [pic]si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x,y) de algún entono de P.

Condiciones necesarias de extremo. Si una función diferenciable [pic]alcanza un extremo en el punto [pic]entonces susderivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero, o sea:

[pic];[pic]

Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos críticos o estacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo.

Condiciones suficientes para la existencia de extremos.

(a) Caso de dos variables. Sea [pic]un punto crítico de una función [pic] con las derivadasparciales de segundo orden continuas en P, y sea[pic]el determinante de su matriz hessiana, entonces:

[pic][pic][pic]

Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da [pic], si es negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el hessiano es negativo no hay extremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método)

(b) Caso de tres o más...