CALCULO

Taller de calculo Final (parte 2)
20(cm^{3})/min{/tex}})/min}
Ejercicio 15
El volumen de un globo esfereico esta disminuyendo a razon de . Con que rapidez disminuye el rado del globo cuando el volumen es ?
 
Solucion:
Razon de cambio del volumen de la esfera respecto al tiempo: 
Volumen de una esfera en funcion del radio: 
Radio de una esfera en funcion de su volumen:  
Volumen dado 




Esdecir que el radio esta disminuyendo con una rapidez de  cuando volumen es 
 
Ejercicio 16
Una pista atletica tiene forma circular (centro en un punto ) y su radio es de . Un atleta corre por el borde de la pista y un juez lo va a cronometrar desde un punto de partida . Si el atleta esta en un punto , ¿con que velocidad crece el area del triangulo , cuando el angulo central es de ?
Solucion:
Falta eldato correspondiente a la rapidez que lleva el corredor.
Base del triangulo
Altura
Sea el area del triangulo 

Derivando

Dado que 


Entonces




 
 
Ejercicio 17
Se coloca una bola en un plano inclinado, de grados de inclinacion , y comienza a rodar. La distancia (en) recorrida por la bola en   segundos es  .
 
a) Determine la velocidad de la bola.
Solucion:
 
 
 
 
 
b) ¿Que valor de  producela maxima velocidad en un instante concreto?
Solucion:
 
 
Ejercicio 33
Dos Fabricas  y  que se encuentran a  una de la otra, eimten humo con particulas que contaminan el aire de la region. Suponga que el numero de particulas provenientes de cada fabrica es directamente proporcional a la cantidad de humo e inversamente proporcional al cubo de la disntacia desde la fabreica.¿Que puntoentre  y  tendra la menor contaminacion si la fabrica  emite el doble de humo que la fabrica ?
Solucion:

 
Sea  la cantidad de particulas y  la cantidad de humo emitida por la fabrica ,  y  la cantidad de particulas y  la cantidad de humo emitida por la fabrica , tenemos que  y   por lo tanto 
 y 
La contaminacion en el punto ,  esta dada por la ecuacion:

 
Ademas,

entonces

donde y  son constantes.
 
Se nospide calcular el punto con menor contaminacion, por lo tanto procedemos a derivar  e igualar a cero:


Sumando las dos fracciones:

Sabemos que se satisface cuando el numerador se anula


Es decir cuando alguno de los factores es igual a cero, lo cual sucede cuando  y cuando  para los dos primeros factores y para el tercer factor
 



Por lo tanto podemos decir que 



Son los puntos en los cuales laderivada se hace igual a cero. Evaluamos el signo de la derivada a la izquierda y la derecha de cada uno de estos puntos para determinar si son maximos o minimos relativos y luego calculamos el valor de la funcion en los puntos criticos.
 




 

 
Por lo tanto, el punto  dentro del intervalo  donde la contaminacion es minima, es:

Ejercicio 45
Una escalera de 25 pies de longitud esta apoyadasobre una pared. Su base de desliza por el suelo a razon de .
 

 
a) ¿A que ritmo esta bajando su extremo superior por la pared cuando la base dista de ella 7, 15, 24 pies?
Solucion:
Sea  la longitud de la escalera,  la altura a la que se encuentra el extremos superior y  la distancia de la base a la pared. Usando el teorema de pitagoras sabemos que 
 y derivando implicitamente tenemos


dado que lalongitud de la escalera no cambia 
por lo tanto, despejando 

 
Para , 

 
Para , 

 
Para , 

 
b) Halle el ritmo al que cambia el area del triangulo formado por la escalera, el suelo y la pared, cuando la base esta a 7 pies del muro.
Solucion:
Sea  el area del triangulo formado


 
c) Calcule el ritmo de cambio del angulo entre la escalera y la pared cuando la base esta a 7 pies del muro.Solucion:
Sea  el angulo formado con la pared,  y derivando tenemos


 
d) Calcule la aceleracion del extremo superior de la esclaera cuando su base esta a 7 pies del muro.
Solucion:
Dado que 

 
 
Ejercicio 48
Una mujer en un muelle tira de un bote a una rapidez de  usando una soga amarrada al bote al nivel del agua. Si las manos de la mujer se hallan a  por arriba del nivel de agua. ¿Con que...