Calculo

Integral de Riemann
Hay muchas maneras de definir formalmente una integral, no todas equivalentes. Se establecen diferencias para poder abordar casos especiales que no pueden ser integrables conotras definiciones, pero también en ocasiones por razones pedagógicas. Las definiciones más utilizadas de la integral son las integrales de Riemann y las integrales de Lebesgue.

Integral con elplanteamiento de Riemann hace una suma basada en una partición etiquetada, con posiciones de muestreo y anchuras irregulares (el máximo en rojo). El verdadero valor es 3,76; la estimación obtenida es 3,648.La integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann de funciones respecto de particiones etiquetadas de un intervalo. Sea [a,b] un intervalo cerrado de la recta real; entonces unapartición etiquetada de [a,b] es una secuencia finita

y denotamos la partición como

Convergencia de sumatorios de Riemann a medida en que se parten los intervalos, cuando se muestrea a ■ la derecha,■ el mínimo, ■ el máximo, o ■ la izquierda.
Una función f acotada definida en un intervalo [a, b] se dice que es Riemann integrable en [a, b] si existe un número I en los reales tal que, para todonúmero real positivo ε existe una δ positiva tal que si P es una partición de [a, b] con ||P|| < δ y S(P,f) es cualquier suma de Riemann entonces |S(P, f) - I| < ε.
Usualmente para funcionesconocidas que sabemos integrables se toma una partición regular del intervalo y se toman los tk como alguno de los puntos extremos de cada intervalo(notar que si no supiéramos que la función es integrableentonces no podríamos tomar cualquier punto del intervalo arbitrariamente, es decir, no podríamos tomar los valores extremos, tendríamos que revisar que para cualquier valor tk que tomáramos en cadaintervalo [xk - 1, xk] la suma de Riemann menos algún número real I es menor en valor absoluto que cualquier ε que hubiéramos tomado, en caso de cumplirse habríamos demostrado que la función f es...