calculo

Lección

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Funciones reales. Funciones elementales

Introducción
En esta lección vamos a estudiar con algún detalle un concepto teórico importante que es el
de continuidad. En este curso se supone que ya tienes un conocimiento intuitivo de las funciones elementales (exponencial, logaritmo natural, trigonométricas), no obstante, si yo doy por
sabido algo que tú desconoces harás muy bien enpreguntar y yo haré lo posible por despejar
tus dudas.

2.1. Funciones reales
Las funciones son las herramientas principales para la descripción matemática de una situación real. Todas las fórmulas de la Física no son más que funciones: expresan cómo ciertas
magnitudes (por ejemplo el volumen de un gas) dependen de otras (la temperatura y la presión). El concepto de función es tan importante que muchasramas de la matemática moderna
se caracterizan por el tipo de funciones que estudian. No es de extrañar, por ello, que el concepto de función sea de una gran generalidad. Además, se trata de uno de esos conceptos cuyo
contenido esencial es fácil de comprender pero difícil de formalizar.
La idea básica de función es la siguiente. Supongamos que tenemos dos conjuntos A y B; una
función de A en B esuna regla que a cada elemento de A asocia un único elemento de B.
En este curso estamos interesados principalmente en funciones entre conjuntos de números
reales, es decir, A y B son subconjuntos de R; con frecuencia B = R. Estas funciones se llaman
funciones reales de una variable real. En lo que sigue nos referiremos solamente a este tipo de
funciones y, si no se especifica otra cosa, seentiende que B = R. Por tanto, para darnos una
función nos deben decir, en principio, el subconjunto A de R donde suponemos que la función
está definida y la regla que asigna a cada número de A un único número real. El conjunto A
recibe el nombre de dominio de la función.
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Funciones reales

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Las funciones se representan por letras. En la práctica las letras más usadas son f , g y h, perocualquiera otra es también buena. Si f es una función y x es un número que está en su dominio,
se representa por f (x) (léase “ f de x”) el número que f asigna a x, que se llama imagen de x por
f . Es muy importante en este curso distinguir entre f (una función) y f (x) (un número real).
Es importante advertir que las propiedades de una función depende de la regla que la define
y también de su dominio, porello dos funciones que tienen distintos dominios se consideran
distintas funciones aunque la regla que las defina sea la misma.

Criterio de igualdad para funciones.
Dos funciones f y g son iguales cuando tienen igual dominio y f (x) = g(x) para todo x en el
dominio común.
Notemos también que aunque estamos acostumbrados a representar a las funciones mediante
fórmulas, no siempre es posiblehacerlo.
El símbolo f : A → R se utiliza para indicar que f es una función cuyo dominio es A (se supone,
como hemos dicho antes, que A es un subconjunto de R)
Veamos unos ejemplos sencillos.
a) Sea f : R → R la función dada por f (x) = x 2 .
b) Sea g : R+ → R la función dada por g(x) = x 2 .
c) Sea h : R → R la función dada por:
d) Sea f (x) =

h(x) =

0,
1,

si x ∈ Q

si x ∈ R \ Q

x 3 + 5x + 6
x2 −1

Según lo antes dicho, las funciones en a) y b) son distintas. Nótese que la función definida en
b) es creciente y la definida en a) no lo es.
La función definida en c) es llamada función de Dirichlet. Nótese que no es fácil calcular los
valores de dicha función porque no siempre se sabe si un número real dado es racional o irracional. ¿Es e +π racional? Pese a ello la función está correctamentedefinida.
En d) no nos dan explícitamente el dominio de f por lo que se entiende que f está definida
siempre que f (x) tenga sentido, es decir, siempre que, x2 − 1 0, esto es, para x ± 1.

El convenio del dominio
Cuando una función se define mediante una fórmula f (x) = fórmula y el dominio no es explícito, se entiende que el dominio es el mayor conjunto de valores de x para los cuales la...