Calculo

´ INTRODUCCION HISTORICA Newton y Leibniz, independientemente uno del otro, fueron en gran parte los responsables del desarrollo de las ideas b´sicas del C´lculo. La idea central del C´lculo Diferencial es la noci´n a a a o de derivada. Igual que la integral, la derivada fue originada por un problema de Geometr´ ıa: El problema de hallar la tangente en un punto a una curva. Sin embargo, adiferencia de la integral, la derivada aparece muy tarde en la historia de la matem´tica. Este concepto no se a formul´ hasta el siglo XVII, cuando el matem´tico frances Pierre de Fermat, trat´ de determinar o a o los m´ximos y m´ a ınimos de ciertas funciones. ´ LOS PROBLEMAS QUE FUNDAMENTAN EL CALCULO El c´lculo fue creado sobre todo para tratar los principales problemas cient´ a ıficos del siglo XVII.Problemas relativos a velocidad: Dada la f´rmula de la distancia que un cuerpo recorre como funci´n del tiempo, obtener la o o velocidad y la aceleraci´n en cualquier instante; y, al rev´s, dada la f´rmula que describe la o e o aceleraci´n de un cuerpo como funci´n del tiempo, obtener la velocidad y la distancia recorrida. o o Este problema surgi´ directamente en el estudio del movimiento, y ladificultad que planteaba o era que las velocidades y las aceleraciones que interesaban en el siglo XVII variaban de instante en instante. Al calcular una velocidad instantanea, por ejemplo, no se puede dividir la distancia recorrida por el tiempo empleado, como ocurre en el caso del c´lculo de la velocidad media, a porque en un instante dado tanto la distancia recorrida como el el tiempo empleado soncero, y
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no tiene sentido. Sin embargo, era claro desde un punto de vista f´ ısico que los objetos m´viles o

tienen una velocidad en cada instante de su viaje. El problema inverso de obtener la distancia recorrida, conociendo la f´rmula de la velocidad, incluye la dificultad correspondiente; no se o puede multiplicar la velocidad en cualquier instante de tiempo utilizado para obtener elespacio recorrido, porque la velocidad var´ de un instante a otro. ıa Vamos a investigar un poco como obtener la velocidad de un objeto en movimiento. Supongamos que se lanza un proyectil verticalmente desde el suelo a una velocidad de 45 m por segundo. 1

Precindiendo del rozamiento, se supone que solamente act´a la gravedad, por lo que el proyectil u se mueve en l´ ınea recta. Sea f (t) laaltura en metros que alcanza el proyectil t segundos despu´s del lanzamiento. Si la fuerza de gravedad no actuara en ´l, el proyectil continuar´ e e ıa subiendo a velocidad constante, recorriendo una distancia de 45 metros por segundo, y en el tiempo t se tendr´ f (t) = 45t. Pero a causa de la gravedad, el proyectil va retard´ndose ıa a hasta que su velocidad llega a cero, a a partir de este momentocae al suelo. Experimentos indican que mientras el proyectil est´ en movimiento su altura f (t) viene dada por la f´rmula a o f (t) = 45t − 5t2 , donde el t´rmino −5t2 es debido a la influencia de la gravedad. Tenemos que e f (t) = 0 ⇔ 45t − 5t2 =⇔ t = 0 ´ t = 9 o sea que el proyectil regresa a la tierra despu´s de 9 o e segundos ∴ t ∈ [0, 9] Problema: Determinar la velocidad del proyectil en cadainstante de su movimiento Para ello necesitamos precisar lo que se entiende por velocidad en cada instante. Se define la velocidad media en un intervalo de tiempo t + h, t como Dif erencia de distancia en el intervalo de tiempo f (t + h) − f (t) = intervalo de tiempo h en nuestro caso tenemos que: f (t + h) − f (t) 45(t + h) − 5(t + h)2 − (45t − 5t2 ) 45h − 10th − 5h2 = = = 45 − 10t − 5h h h hCuando h tiende a cero, la expresi´n tiende a 45 − 10t. Definimos para este caso la velocidad o instantanea en el instante t v(t) = 45 − 10t ´ Esta f´rmula define una nueva funci´n v que indica la rapidez con que se muevwe el proyectil o o en cada instante de su movimiento. Este proceso por el cual se obtiene v(t) a partir del cociente se denomina ”hallar el limite 2

cuando h tiende a cero se...