Calculo

HIPÉRBOLA Las hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, la intersección de una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una hipérbola. También algunos cometas tienen órbitas hiperbólicas Definición Se llama hipérbola al conjunto de puntos P del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de las distancias entre P y dospuntos fijos F’ y F, llamados focos, es constante. El punto medio del segmento de recta que une los focos se denomina centro.

Ecuación de la hipérbola Deduciremos la ecuación de la hipérbola en el caso en que los focos están ubicados sobre el eje x y el centro es el origen de coordenadas. Sean entonces F’(– c, 0) y F(c, 0). Sea P(x, y) un punto que pertenece a la gráfica de la hipérbola, entoncesd(P, F’) – d(P, F) = k > 0

(x + c)2 + y 2 (x + c)2 + y 2

−

(x − c)2 + y 2

=k

=k+

(x − c)2 + y 2

elevando a ambos miembros al cuadrado

(x + c )2 + y 2 = k 2 + 2k (x − c )2 + y 2 + (x − c )2 + y 2
x 2 + 2cx + c 2 = k 2 + 2k

(x − c )2 + y 2

+ x 2 − 2cx + c 2

simplificando y reordenando se obtiene 4cx - k 2 = 2k llamamos a = k/2 y queda : cx - a 2 = a

(x − c )2 + y 22  k  k ⇒ 4 cx −    = 4   2  2  

(x − c )2 + y 2

(x − c )2 + y 2

elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad y simplificando tenemos: c2 x 2 + a 4 = a 2 x 2 + c2a 2 + a 2 y 2 c2 x 2 − a 2 x 2 − a 2 y 2 = c2a 2 − a 4 x 2 (c 2 − a 2 ) − a 2 y 2 = a 2 (c 2 − a 2 ) (1)

Mirando en la figura anterior el triángulo de vértices F’FP, se ve que se verifica qued(P, F) + d(F, F’) > d(P, F’) ⇒ d(F, F’) > d(P, F’) – d(P, F) = k = 2a Luego d(F, F’) = 2c > 2a y por lo tanto c > a ⇒ c2 – a2 > 0 c 2 − a 2 y reemplazamos en (1) x 2 y2 − = 1 (2) a 2 b2

Definimos entonces b = b2x 2 − a 2 y2 = a 2b2 ⇒

La ecuación (2) es la ecuación de la hipérbola en forma canónica o normal centrada en el origen y focos en el eje x. Te proponemos deducir la ecuación de lahipérbola centrada en el origen y con focos en el eje y. Elementos distintivos de una hipérbola Se llama eje transverso al segmento de recta con extremos en puntos de la hipérbola que contiene a los focos. Los extremos del eje transverso se llaman vértices. En (2), considerando y = 0, los vértices están en (– a, 0) y (a, 0) El segmento de recta que pasa por el centro de la hipérbola, perpendicular aleje transverso, con extremos en (0, – b) y (0, b), se llama eje conjugado. Gráfica de la hipérbola Tengamos en cuenta algunas observaciones: Puede verse que la gráfica no tendrá puntos en común con el eje conjugado, ya que si consideramos x = 0 (ecuación de la recta que contiene al eje conjugado), reemplazando en y2 (2) resulta − 2 = 1 , que no tiene solución en el conjunto de números reales. b Paraun valor fijo de x (distinto de cero), se obtienen dos valores de y, análogamente para un valor fijo de y (cualquiera) se obtienen dos valores de x, con lo que se concluye que la gráfica estará en los cuatro cuadrantes y tendrá dos ramas, ya que no puede tocar al eje conjugado, como vimos en el punto anterior. Si despejamos y en términos de la variable x (queda como tarea para el alumno) seobtiene b a2 y = ± x 1− 2 a x se ve que estará bien definida si x2 ≥ a2 (¿por qué?), es decir, x ≥ a .

a2 → 0 , y por lo x2 tanto los puntos de la gráfica de la hipérbola se acercan a los puntos sobre las rectas b b y = x o y = − x que se las denomina asíntotas de la hipérbola. Estas se intersecan en a a el centro de la hipérbola y resultan ser las diagonales extendidas del rectángulo que tiene porvértices los extremos de los ejes transverso y conjugado. Este rectángulo se llama rectángulo auxiliar. Además si x crece infinitamente o x decrece infinitamente, el cociente

Ahora sí, teniendo en cuenta estas observaciones, grafiquemos:

Observación: El centro de la hipérbola puede no estar en el origen. ¿Cuál sería la ecuación de una hipérbola con centro en (h, k) y focos sobre la recta...