Calculo


En matemáticas, la suma de Riemann sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el áreade cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
Las sumas de Riemann son un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Llevadas al límite se obtiene la integral de Riemann.
NOTACIÓN SIGMA

La notación Sigma: Son los números cuya suma se indica en una notación sigma puedenser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.
ea f(x) una función continua en [a, b]. Sea un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2,...xn} tales que a= x0 consideramos la partición de este intervalo P=  {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}.


Entonces la suma de Riemann de f(x) es:donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo suele ser arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda. 
Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.



Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando,respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.

INTEGRAL DEFINIDA
La integral definida serepresenta por .
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e valúa la integral.
La continuidad asegura que los límites en las tres definicionesexisten y dan el mismo valor por eso podemos asegurar que el valor de  es el mismo independientemente de cómo elijamos los valores de x para evaluar la función (extremo derecho, extremo izquierdo o cualquier punto en cada subintervalo). Enunciamos entonces una definición más general.
Definición de integral definida: Sea f una función continua definida para a  x  b. Dividimos el intervalo [a, b] enn subintervalos de igual ancho  x  . Sean x0  a y xn  b y además x0, x1, ...., xn los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto ti en estos subintervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-ésimo subintervalo [xi1, xi] con i  1, .., n.
Entonces la integral definida de f de a a b es el número .
La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizarcualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.
Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es elárea entre la gráfica y el eje x.
La notación de la integral definida ayuda a tener en cuenta el significado de la misma. El símbolo  hace referencia al hecho de que una integral es un límite de una suma de términos de la forma "f(x) por una pequeña diferencia de x". La expresión dx no se considera por separado sino que forma parte de la notación que significa "la integral de una determinada...

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