Calculo

GUIA DE TRIGONOMETRIA
GRADO DECIMO

LA ELIPSE
¿EN QUE SE APLICA?
El desarrollo de estudios sobre la elipse es de gran importancia en la aplicación a fenómenos físicos sobre acústica, soportes y orbitas de planetas. Para eliminar cálculos renales B, representa una elipse horizontal
* Si A < B, representa una elipse vertical

ECUACIÓN DE LAELIPSE CON C = (h, k)










Tracemos el sistema x’ y’ por el centro de la elipse de tal manera que x’ sea paralelo a x e y’ paralelo a y
Si p(x,y) es un punto cualquiera sobre la curva, entonces por el criterio de traslación de ejes
x’ = y – h (1)
y’ = y – k
La ecuación de la elipse en el sistema x’y’ es:
x'2a2 + y'2b2 =1 (2)

Reemplazando (1) en (2) obtenemos finalmente:
(x-h)2a2 + (y- k)2b2 = 1

Si el eje focal es paralelo a “y”, entonces la ecuación resultante es
(x-h)2b2 + (y- k)2a2 = 1
EJEMPLO 1
Graficar la elipse que tiene por ecuación 25x2 + 16y2 + 100x – 96y – 156 =0, indicando todos sus elementos
SOLUCION
La ecuación general dada, la transformamos enla ecuación canónica completando cuadrados
25(x2 + 4x + 4) + 16(y2 – 6y + 9) = 156+100+122
25(x + 2)2 + 16(y - 3)2 =400
Ahora dividimos por 400
25(x+h2)2400 + 16(y- 3)2400 = 400400 (x+2)216 + (y-3)225=1

LA ÚLTIMA ECUACION NOS INDICA QUE:
1. Centro O= (-2, 3)
2. Eje focal vertical, debido a que el mayor denominador está sobre el termino quecontiene Y, entonces a2= 25 a = 5
3. B2 = 16 b = 4
4. Lo anterior nos permite calcular el valor de c



POR LO TANTO LA GRÁFICA SERÍA:









EJEMPLO2

Hallar la ecuación general de la elipse cuyo eje mayor mide 20 cm y los focos son los puntos de coordenadas (0, 53) y ( 0, - 53)
SOLUCION

Primero realizamos el graficoObservemos que la elipse tiene como eje focal al eje Y,
c = 53; como nos dicen que el eje mayor mide 20 cm, entonces a= 10 cm, esto nos permite calcular b
b2 =a2- c2;
b2 = (10)2 - (53)2
b2= 100- 75
b2= 25
b = 5Finalmente la ecuación de la elipse sería
y2100+ x225= 1
4x2+y2=100
ACTIVIDAD 1
A. Hallar la ecuación de la elipse y dibujar la grafica
1. Centro en el origen, un foco en el punto (2,0) y un vértice en el punto (0, 5)
2. Centro en el origen, un focoen el punto ( -4, 0) semieje menor 3
3. Centro en el origen, un vértice en el punto (-7, 0) y un extremo del eje menor es el punto (0, 3)
B. Dada la ecuación de la elipse determinar el centro, los vértices, los focos, puntos extremos del eje menor, y construir la grafica
4. 25x2 + 4y2 = 100
5. 3x2 + 4y2 =12
6. 9x2 + 25y2 =225
C. Pruebe que la ecuación de la elipsecon centro en el punto (h,k) y focos sobre una vertical es
(x-h)2b2 + (y- k)2a2 = 1
D. Hallar la ecuación de la elipse que tiene sus focos en (5, 0) y (-3, 0) si 2a = 12
E. Establezca la ecuación de la elipse que tiene su centro e (-1, -2) si su eje mayor es vertical y mide 6 unidades y su eje menor 4 unidades
F. Halle la ecuación de la elipse cuyo centro está en (3,2), uno desus focos en (7, 2) y el vértice correspondiente en (9, 2)
Ecuación general de la elipse
Si desarrollamos la ecuación (x-h)2a2 + (y- k)2b2 = 1, obtenemos

b2x2 + a2y2 – 2b2hx -2a2ky + b2h2+a2k2- a2b2 =0
A C D E F
Esta ecuación tiene la forma Ax2 +Cy2 + Dx + Ey +F =0, es decir, una ecuación de segundo grado en “x”...