Calculo

Cap´ıtulo 1

Los N´
umeros Reales

1.1.

Introducci´
on.

En este primer cap´ıtulo del libro introducimos el sistema de los N´
umeros
Reales, que es la base sobre la cual se desarrolla el An´alisis Matem´atico. Los
matem´aticos griegos, cuyo inter´es fundamental fue la Geometr´ıa, sab´ıan que los
n´
umeros racionales, es decir, cocientes de enteros, no bastan para asignar una
longitud num´erica acada segmento de recta. En efecto, un tri´angulo rect´angulo
de catetos de longitud 1 debe tener, por el Teorema de Pit´agoras, una hipotenusa
de longitud d con d2 = 2, y es f´acil ver que ning´
un n´
umero racional tiene esta
propiedad: supongamos d = a/b donde a y b son enteros y no son ambos pares.
Si d2 = 2, tenemos 2b2 = a2 y por lo tanto a es par, digamos a = 2c, pero
entonces b2 = 2c2 y btambi´en es par, lo cual es una contradicci´on. Al n´
umero
que corresponde a la longitud de la hipotenusa de este tri´
a
ngulo
(que
no
es un
√
n´
umero racional) lo llamamos ra´ız de dos y lo denotamos 2. Para poder incluir
estos n´
umeros es necesario extender el conjunto de los n´
umeros racionales.
Comenzamos este cap´ıtulo postulando la existencia de un conjunto R, cuyos
elementos llamaremosn´
umeros reales, junto con las operaciones de suma y multiplicaci´on y una relaci´on de orden, que tomados en conjunto satisfacen trece
axiomas. Estos axiomas definen lo que conocemos como un Cuerpo Ordenado
Completo, y constituyen la respuesta a la pregunta ¿Qu´e son los n´
umeros reales?
La prueba de que esta estructura de Cuerpo Ordenado Completo existe (y es
u
´nica) depende de las hip´otesisiniciales. En nuestro caso simplemente listaremos los axiomas que definen a un Cuerpo Ordenado Completo y supondremos
la existencia de este objeto.
Es posible seguir un camino constructivo para responder la pregunta del
parr´
afo anterior, es decir, es posible, partiendo de los N´
umeros Racionales o
incluso de estructuras m´as elementales como los N´
umeros Naturales o axiomas
b´asicos de laTeor´ıa de Conjuntos, construir un conjunto con operaciones de

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CAP´
ITULO 1. LOS NUMEROS
REALES

2

suma y multiplicaci´on y una relaci´on de orden, que satisfacen los axiomas que
vamos a listar en este cap´ıtulo y que constituyen lo que conocemos como los
N´
umeros Reales. Hay varias maneras de hacer esta construcci´on. En los ejercicios
complementarios al final del cap´ıtulo presentamos, comoproblema a resolver,
una sucesi´on de ejercicios que lleva a esta construcci´on a trav´es del m´etodo de
Dedekind.

1.2.

Axiomas para los N´
umeros Reales.

Suponemos la existencia de una cu´adrupla (R, +, ·, <) en la cual:
1. R es un conjunto,
2. + y · son funciones de R × R → R,
3. < es una relaci´on en R,
que satisfacen los trece axiomas que listaremos a continuaci´on:

Axiomas para la Suma.
i)Conmutatividad.
Para todo a y b en R, a + b = b + a.
ii) Asociatividad.
Para todo a, b y c en R, (a + b) + c = a + (b + c).
iii) Existencia del Elemento Identidad.
Existe un elemento 0 ∈ R tal que a + 0 = 0 + a = a para todo a ∈ R.
iv) Existencia de Elemento Inverso.
Para todo a ∈ R, a = 0, existe un elemento −a ∈ R tal que −a + a = 0.
En lenguaje algebraico estos cuatro axiomas dicen que (R, +)es un grupo
abeliano. A partir de estos axiomas podemos obtener otras propiedades de los
n´
umeros reales. Veamos un ejemplo.
Ejemplo 1.1 (Ley de cancelaci´
on para la suma)
Si a, b y c est´an en R y a + b = a + c entonces b = c.
Demostraci´on. Por (iv) existe el elemento inverso −a ∈ R y entonces

por lo tanto

−a + (a + b) = −a + (a + c)
(−a + a) + b = (−a + a) + c

de donde
y en consecuencia0+b=0+c
b=c

por (ii)

por (iv)
por (i) y (iii)

´
1.2. AXIOMAS PARA LOS NUMEROS
REALES.

3

Ejercicios 1.1
1. Usando los axiomas (i)-(iv) demuestre lo siguiente
a) Si a + b = 0 entonces b = −a.
b) −(−a) = a.
c) −(a − b) = b − a. Por lo tanto −0 = 0.
d) Si para alg´
un a ∈ R, a + b = a, entonces b = 0.

Axiomas para la Multiplicaci´
on.
v) Conmutatividad.
Para todo a y b en R, a · b = b · a.
vi)...