Calculo

Cálculo

Capítulo 1

Números Reales
Objetivos: • • • • • Ubicar el conjunto de los números reales Resolver desigualdades con variable en el denominador Concepto y definición de valor absoluto Resolver desigualdades de valor absoluto Entender a las desigualdades como un rango de valores en la recta numérica • Aplicar las desigualdades como conjuntos en el plano • Modelar problemas através de desigualdades

Números reales Sistemas de numeración Clasificación de los números Desigualdades Intervalos Valor Absoluto Programación lineal

El sistema de los números reales 1.1 Introducción El sistema numérico que poseemos no es simple y no nació de improviso, por el contrario, es el resultado de profundas reflexiones en el tiempo por parte del hombre. En un primer momento senecesitaron números para poder contar y tener claras las cantidades en el comercio y el almacenaje. Así nacen los números naturales o enteros positivos. Los antiguos desarrollaron una serie de operaciones comerciales que dieron inicio a las operaciones de adición, sustracción y multiplicación, teniéndose así una aritmética basada en el empleo de números naturales. Así, como resultado de la diferencia,se encontró un nuevo tipo de números: los números negativos. Estos llevaron a la conformación de los números enteros. Si bien en el periodo antiguo no se desarrolló totalmente la división, sí se advirtió, como resultado de operar los enteros, el uso de algunas fracciones elementales. Es así que surge el cociente entre dos números enteros, conociéndose a este conjunto como números racionales. Laaritmética y el álgebra crecieron como herramientas prácticas de cómo operar y cómo dar respuestas a problemas diarios. En contrapartida la geometría fue empleada como un instrumento de desarrollo intelectual y es por tanto un modelo de sistema lógico. Es a partir de la geometría que surgen números que tuvieron aceptación mucho tiempo después y luego de un firme fundamento lógico, estos son losnúmeros irracionales. La agrupación de todos estos números se conoce como conjunto de números reales y es sobre ellos que basaremos nuestro estudio.

Capítulo I. Números Reales

Figura 1

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1.2 Numeración Sistema de símbolos o signos utilizados para expresar los números. Las primeras formas de notación numérica consistían simplemente en líneas rectas, verticales u horizontales; cada una deellas representa el numero 1. Por lo que este sistema era extremadamente engorroso para manejar grandes números y para hacer operaciones. Ya en el año 3400 a.C. en Egipto y Mesopotamia se utilizaba un símbolo específico para representar el número 10. En la notación cuneiforme de babilonia el símbolo utilizado para el 1, era el mismo para el 60 y sus potencias.; el valor del símbolo venía dado por sucontexto. Numeración Romana Este sistema tuvo el mérito de ser capaz de expresar los números del 1 al 1.000.000 con solo siete símbolos: I para el 1,V para el 5, X para el 10, L para el 50, C para el 100, D para el 500 y M para el 1000. Es importante acotar que una pequeña línea sobre el número multiplica su valor por mil. En la actualidad los números romanos se usan para la historia y con finesdecorativos. La numeración romana tiene el inconveniente de no ser práctica para realizar cálculos escritos con rapidez. Numeración Arábiga El sistema corriente de notación numérica que es utilizado hoy y en casi todo el mundo es la numeración arábiga. Este sistema fue desarrollado primero por los hindúes y luego por los árabes que introdujeron la innovación de la notación posicional; en la quelos números cambian su valor según su posición. La notación posicional solo es posible si existe un número para el cero. El 0 permite distinguir entre 11, 101 y 1001 sin tener que agregar símbolos adicionales. Además todos los números se pueden expresar con sólo diez caracteres, del 1 al 9 más el 0. La notación posicional ha facilitado mucho todos los tipos de cálculos numéricos por escrito. 1.3...