Calculo

Introducción a las funciones de varias variables

Funciones de varias variables.
Definición.
Hasta ahora se han estudiado funciones de la forma y = f ( x) ,
f :D ⊂

→

Estas funciones recibían el nombre de funciones reales de variable real ya que su valor y
dependía de una sola variable x. En este apartado se estudian funciones cuyo valor depende de más
de una variable. Estas funcionesreciben el nombre global de funciones de varias variables o
funciones de variable vectorial. Algunos ejemplos de las mismas son:

EJEMPLO:

f ( x, y ) = 3 x 3 + xy + sen (2 x + 7 y 2 ) ; g ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 3 x2 + x1 x2 + 5 ln ( x1 + x2 + x3 )
son funciones reales de dos y tres variables respectivamente.
f ( x, y ) = (3 x 2 + xy 3 ,3 x + 2 y, x + y + 1) ; g ( x1, x2 , x3 ) = ( x1 +3x2 , x1 x2 , cos ( x1x3 ),2 y − xy 3 )
también son funciones de varias variables pero aquí el resultado de la función es un vector por
eso se llaman funciones vectoriales de variable vectorial.

Para determinar completamente esta idea e función de varias variables se da la siguiente:
Definición: Se denomina función de varias variables con dominio de definición D ⊂
con n > 1 entero y mentero, a cualquier aplicación de la forma:
f :D ⊂

n

→

n

,

m

NOTAS: 1.- Estas funciones también se denominan funciones de variable vectorial donde:

-

n

es el conjunto inicial.

-

m

es el conjunto final.

- D⊂

n

- f (D) ⊂

es el dominio de la función.
m

es el recorrido de la función.

2.- Cuando m = 1 la función se llama función real de variablevectorial o, de forma más
breve, campo escalar (esta nomenclatura se utiliza sobre todo en física).
3.- Cuando m > 1 la función recibe el nombre de función vectorial de variable vectorial o
campo vectorial. El valor m se denomina dimensión de la función. En ese caso la función se
representa por el símbolo f (esto es se pone una flechita sobre la letra que le da nombre).

EJEMPLO: En el ejemploanterior se han presentado:
f ( x, y ) un campo escalar de dos variables.

g ( x1, x2 , x3 ) un campo escalar de tres variables.

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Introducción a las funciones de varias variables
f ( x, y ) un campo vectorial de dos variables y dimensión dos.
g ( x1, x2 , x3 ) un campo vectorial de tres variables y dimensión cuatro.
Existen situaciones del mundo real que se estudian mediante funciones deeste tipo.
Así, la función que a cada punto ( x, y, z ) de una habitación con calefacción le hace
corresponder su temperatura es un campo escalar de tres variables. Y la función que a cada
punto ( x, y, z ) de una sala ventilada le hace corresponder un vector que representa la
velocidad del aire (en magnitud y dirección) en dicho punto es un campo vectorial de
dimensión tres y tresvariables.

de

n

4.- Cuando no se especifica el domino de definición D se entiende que el mayor subconjunto
para el que la función tenga sentido.

5.- Para completar todas las posibilidades hay que hablar de las funciones vectoriales de
variable real que se ajustan a un esquema de la forma: f : D ⊂ → m . En general representan
curvas en un espacio de dos o más dimensiones.
6.- Formas deexpresión: en este apartado se estudiarán, sobre todo, campos escalares de dos
o tres variables. Estas funciones suelen venir expresadas de dos formas:
6.1.- Forma explícita donde la función se presenta del modo expuesto anteriormente:
f ( x, y ) = 3 x 3 + xy + sen (2 x + 7 y 2 ) , que a veces se suele expresar de la forma
f ( x, y ) = z con z = 3 x 3 + xy + sen (2 x + 7 y 2 )

g ( x1 , x2 , x3 )= x1 + 3 x2 + x1 x2 + 5 ln ( x1 + x2 + x3 ) , que también se expresa como
g ( x1 , x2 , x3 ) = w con w = x1 + 3 x2 + x1 x2 + 5 ln ( x1 + x2 + x3 )
6.2. Forma implícita, donde el valor de la función z se presenta por medio de una ecuación
con sus variables (en la que en ocasiones no es posible despejar dicho valor). Por ejemplo:
f ( x, y ) = z con xy 2 z + ln( x + yx) − cos( x 3 y 2 z 4 ) −...