CALCULO



TRABAJO DE INVESTIGACION (CALCULO)
SUCESIONES.







ERIKA TATIANA GUERRERO PORRAS
ZARETH YOLANI VILLAMIZAR VANEGAS



PRESENTADO A :
MARIA CLAUIDA GOMEZ
DOCENTE


GRADO: 11-4



INSTITUTO POLITECNICO
BUCARAMANGA, 2015

II. MARCO DE REFERENCIA

Sucesiones

1. Fundamentos teóricos

El método histórico–lógico es sumamente poderoso para aclarar ciertas regularidades que ocurren en el objetode estudio de cualquier ciencia. No es posible un análisis sobre las sucesiones sin su correspondiente abordaje histórico. Se estudiará la evolución que ha tenido las Sucesiones Matemática desde tiempos inmemoriales hasta la actualidad.
Para ganar en precisión, es justo señalar que el término Sucesión se puede asociar, en una primera aproximación, a los procesos discretos de la naturaleza, o aaquellos que se pueden describir de esta forma, por ejemplo, la evolución de una población en instantes de tiempo equiespaciados o una señal digital. Pero en sí, una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
A parte de su interés como mecanismo para modelar, la teoría de sucesiones aporta una importante herramienta deductiva en el AnálisisMatemático.
En 1902, el matemático italiano, Leonardo Pisano, llamado Fibonacci, investigó el siguiente problema: “un hombre pone un par de conejos (macho y hembra) de diferente sexo, en un lugar cercado. Los conejos pueden aparearse a partir del primer mes de vida, y las hembras dan a luz tras un mes de gestación. Suponiendo que ningún conejo muere en un año, y que las camadas de conejos que haparido la hembra están formadas por una nueva pareja de conejos de diferente sexo, cada mes a partir de su segundo mes de vida, ¿cuántos pares de conejos habrá en un año?”. Fibonacci formuló un respuesta mes a mes: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 y 144.
Aunque el problema de Fibonacci no era muy realista, su resultado dio origen a una sucesión numérica llamada sucesión de Fibonacci, una de lasmaravillas de la matemática, presente en los más insólitos fenómenos de la naturaleza y en la creación humana.
La sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...
Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.
El 2 se calcula sumando (1+1)
Análogamente, el 3 es sólo (1+2),
Y el 5 es (2+3),
¡y sigue!







La regla
La sucesión deFibonacci se puede escribir como una "regla".Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:




la regla es xn = xn-1 + xn-2
Donde:
xn es el término en posición "n"
xn-1 es el término anterior (n-1)
xn-2 es el anterior a ese (n-2)
Por ejemplo el sexto término se calcularía así:
x6 = x6-1 +x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
¡Pero la regla debería ser una fórmula!
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:
10º término,
100º término, o
n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).
Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9,...}?Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:
Probamos la regla: 2n
n
Término
Prueba
1
3
2n = 2×1 = 2
2
5
2n = 2×2 = 4
3
7
2n = 2×3 = 6
Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
n
Término
Regla
1
3
2n+1 = 2×1 + 1 = 3
25
2n+1 = 2×2 + 1 = 5
3
7
2n+1 = 2×3 + 1 = 7
¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como
La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201




Notación
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:
 
Posición del término

Es normal usar xn para los términos:...