Calculo

CALCULO III

15.5 DERIVADAS
DIRECCIONALES Y
GRADIENTES

CONCLUSION
La derivada direccional de

una función mutivariables
sobre un vector dado,
representa la tasa de
cambio de la función en ladirección de dicho vector .

PRESENTADO POR:
Carmen Jiménez

2010-1522
Junior Desamours
2012-1224
Jennifer Hiciano
2012-1543

INTRODUCCION

Nuestro objetivo es

estudiar la razón de
cambio de f enuna
dirección arbitraria. Esto
conduce al concepto de
derivada direccional, que
a su vez esta relacionado
con el gradiente.

Considere de nuevo una función f

(x,y) de dos variables. Las derivadasparciales f x (x,y) y f y (x,y) miden la
razón de cambio ( y la pendiente de
la recta tangente) en direcciones
paralelas a los ejes x Y y.
Se vera conveniente usar la

notación vectorial. Sea P = (x ,y) y
sean i, j los vectores unitarios en las
direcciones positivas de x Y y.

Entonces las dos derivadas parciales en p
se pueden escribir como sigue.

(p) = lim h→0 f ( p + hi) – f (p) / h
Fy (p)=lim h→0
f (p + hd) f(P)/ h
Para obtener el concepto que
estamos buscando, lo único que
debemos hacer es reemplazar i o j
por un vector unitario arbitrario u.
Fx

RAZON MAXIMA DE CAMBIO
Para unafunción f y un

punto p, es natural
preguntar en que dirección
crece la función mas
rápidamente, es decir en
que dirección es mayor Du
f (p)? Gracias a la formula
geométrica para el producto

CURVAS DENIVEL Y GRADIENTES
Las curvas de nivel de una

superficie Z=f(x,y) son las
proyecciones sobre el plano xy de
las curvas de intersección de la
superficie con planos Z= K que
son paralelo al plano xy.El valor
de la función en todos los puntos
de la misma curva de nivel es
contante.

Teorema C
 El gradiente de f
en un punto P es
perpendicular a la
curva de nivel de f
pasa por P.

DIMENSIONESSUPERIORES

El concepto de curvas

de nivel para funciones
de dos variables se
generaliza a superficies
de nivel para funciones
de tres variables.

Si f es una función de tres variables,

la...