calculo

Apuntes de Calculo diferencial

3.8 Funciones continuas

En matemáticas, el término continuo tiene el mismo significado que en su uso cotidiano. Decir, de
manera informal que una función 𝑓 escontinua en 𝑥 = 𝑎 significa que no hay interrupción de la
gráfica de 𝑓 en 𝑥 = 𝑎. Es decir, la gráfica no tiene ni saltos ni huecos en 𝑥 = 𝑎. En la siguiente
figura se identifican tres valores de 𝑥 en los quelas gráfica de 𝑓 no es continua. En los demás
puntos del intervalo mostrado, la gráfica de 𝑓 no sufre interrupción y es continua.

En la figura anterior la continuidad de la función en 𝑥 = 𝑎 sedestruye mediante cualquiera de las
siguientes condiciones:
1. La función no está definida en 𝑥 = 𝑎
2. No existe el límite de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑎
3. El límite de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑎 existe, pero no es igual a 𝑓(𝑎).Si no se da ninguna de las tres condiciones anteriores, se dice que la función 𝑓 es continua en
𝑥 = 𝑎, como los señala la importante definición que sigue.

Una función 𝑓 es continua en el punto 𝑥 = 𝑎si cumple tres condiciones, las cuales son:
𝑓(𝑎) ∃ (𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒)
lim 𝑓(𝑥) ∃

𝑥→𝑎

lim 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑎)

𝑥→𝑎

Continuidad en un intervalo abierto: Una función es continua en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) si escontinua en cada punto del intervalo. Una función continua en la recta completa de los números
reales es continua en todas partes.

Dr. Juan M. Camacho

3.8
1

Apuntes de Calculo diferencial

3.8Funciones continuas

Ejemplo 1
Analizar la continuidad de las siguientes funciones:
1
𝑥 2 −4
𝑥 2 −1
𝑔(𝑥) =
𝑥+1
1
ℎ(𝑥) = ⟦𝑥⟧
2

a) 𝑓(𝑥) =
b)
c)

𝑥
d) 𝑦 = � 2
2𝑥 − 1

+𝑥

𝑥<1
𝑥=1
𝑥>1

La función 𝑓(𝑥) tienecomo dominio todos los reales excepto {2 y -2}. Puesto que en estos puntos
la función no está determinada en estos puntos la función tiene una discontinuidad en estos
puntos. La función es continua encualquier otro punto. Los límites laterales cerca de estos dos
puntos son:
lim𝑥→−2−
lim𝑥→2−

1
𝑥 2 −4

1
𝑥 2 −4

= +∞

= −∞

lim𝑥→−2+
lim𝑥→2+

1
𝑥 2 −4

1
𝑥 2 −4

= −∞ entonces: lim𝑥→−2

= +∞...