Calculo

2.1.2 El área bajo una curva
 
    Enseguida, graficaremos una función en un intervalo [a,b] y se mostrará el área contenida entre su gráfica y el eje x en el intervalo dado. Observa la siguientegráfica. 
 
f(x)= x2 + 1  
en el intervalo cerrado [1,5]

 
   Igual que con el problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones. Aproximaremos el área bajo la curva con el área de ciertosrectángulos.
    Observa las siguientes gráficas: 
 


 
  
    Como pudiste ver en las gráficas anteriores, con los primeros rectángulos estamos sobreestimando el valor del área y con los segundosrectángulos la estamos subestimando.
    A continuación calcularemos aproximaciones cada vez mejores, tomando cada vez más y más rectángulos.
    Observa las siguientes animaciones. 
 


 
    El valorexacto del área es: 
 

136


Área = 

 aprox. igual 
45.3333

3


 
Los resultados anteriores parecen indicar que conforme el número n de rectángulos crece, (n--->), el valor del área de losrectángulos tanto por la izquierda como por la derecha se acercan a un mismo número. Vamos a cuantificar y a formalizar las ideas expuestas anteriormente. 
  
 
Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b],para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:   
 
1. Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud x=(b-a)/n. Esta será la longitud de labase de cada uno de los n rectángulos. 
2. En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entoncesf(x*) es la altura del rectángulo enese subintervalo. 
3. Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces: 
n


[ f(x*)(x)]
k=1

       A la sumatoria anterior se le conoce como Sumatoria deRiemann. 
Definimos el área bajo la curva como:
Límite de la sumatoria de Riemann cuando n tiende a Infinito.
 
   Para ejemplificar lo anterior, ahora se calculará la suma de Riemann como función...