calculo

COLEGIO DE LA SALLE
CALCULO
(LECTURA RECOMENDADA Y PROYECTO)
CUARTO PERIODOVALERIA ECHEVERRI BARRERA
1103
Nº10
2015
LECTURA RECOMENDADA:
LA INTEGRAL DE RIEMANN. VISUALIZACIÓN DEL PROCESO (Java)
Que características tienen las funciones Riemann- integrables?f es una función acotada definida en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces f es integrable Riemann si y sólo si para todo > 0existe al menos una partición P tal que
| S(f, P) - I(f, P) | <
donde S(f, P) es la suma superior de f respecto de la partición P, e I(f, P) es la suma inferior de f respecto de la partición P.
Que tipos de la aproximación de la integral hay?Hay varias posibilidades para elegir el punto tj en el subintervalo [xj-1, xj], y lasmás utilizadas son éstas:
- Punto izquierdo: se toma como valor tj el límite inferior del subintervalo, es decir, xj-1.
Gráficamente:
- Punto derecho: se toma como valor tj el límite superior del subintervalo, es decir, xj. Gráficamente:

- Punto medio: se toma como valor tj el punto medio entre los límites del subintervalo, es decir, (xj-1 + xj) / 2.
Gráficamente:
- Punto aleatorio: setoma como valor tj un punto elegido aleatoriamente entre todos los puntos del subintervalo.
Gráficamente:
- Punto ínfimo: se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que f(tj) es el ínfimo en ese subintervalo.
Gráficamente:
- Punto supremo: se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que f(tj) es el supremo en ese subintervalo.
Gráficamente:
Cuales son laspropiedades de la integral de Riemann?
Sean f, g funciones integrables Riemann definidas en el intervalo [a, b]. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
1. Propiedades de linealidad:
f(x) dx = f(x) dx
Si c es un número real, entonces c f(x) es integrable en [a, b], y se cumple:
c f(x) dx = c f(x) dx

La función (f + g) (x) es integrable en [a, b], y se cumple:
[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx+ g(x) dx
2. Propiedad de aditividad respecto del intervalo:
Si a < c < b entonces f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx
3. Propiedades de monotonía:
Se cumple que | f | es integrable y: | f(x) dx | | f(x) | dx
Si g es otra función definida en [a, b] tal que 0g(x) f(x) en [a, b], entonces g(x) dx f(x) dx
En qué consisten y cuál es la diferencia entre: el teorema fundamental del cálculo yla regla de Barrow?
Teorema Fundamental del Cálculo:
Sea f una función integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a, b], se define una nueva función:
F(x) = f(t) dtEntonces F es continua en [a, b]. Es más, si f es continua en un punto c del intervalo (a,b), entonces F es derivable en c y
F' (c) = f(c)
Regla de Barrow:
Relaciona el Cálculo Integral con el Cálculo Diferencial.Sea f una función Riemann-Integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a, b].
Y sea F una primitiva de f en [a, b], es decir, F' (x) = f (x) para todo x perteneciente a [a, b].
Entonces:
f(x) dx = F(b) - F(a)
Cuál es la función de Dirichlet. Y porque no es integrable?La función de Dirichlet se define en [0, 1] como
f(x) = ½ 1, x ∈ Q; 0, x /∈ Q.
Esta función esintegrable en norma sobre [0, 1] con R 1 0 f = 0. Para establecerlo sean ε > 0, y {ri : k ∈ N} una enumeración de Q ∩ [0, 1]. Se define δ : [0, 1] → (0,∞) como:
δ(t) = ½
ε/2k+1, t = rk;
1, t /∈ Q.
Con esta δ, sea γ(t) = (t − δ(t),t + δ(t)) la norma correspondiente. Para cualquier D << γ se tiene que l(Ii) < ε/2 k . Luego, si t /∈ Q el término de la suma de Riemann respectivo es cero, y si t= rk, el termino seria también menor que ε/2 k . Esto nos permite establecer la desigualdad |S(f,D)| < P∞ k=1 ε 2 k = ε que nos dice que, en efecto, R 1 0 f = 0.
PROYECTO DE INVESTIGACION
NECESIDAD DE INVERSION (PARA UN FUTURO):
La decisión de abrir un negocio es realmente seria. Partiendo de la realidad de que el 50% fracasan en un periodo de 12 meses y otro 30% en los próximos 36...