Calculo
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Publicado: 7 de noviembre de 2015
Estrategia general del método
La ecuación general de tercer grado
con números reales y se puede convertir en la forma normal dividiendo por y acomodando términos, con lo que queda:Sustituyendo se elimina de la forma normal el término cuadrático y se obtiene la forma reducida:
con lo cual,
y
La fórmula reducida es la que se utiliza entonces para resolver por el método de Cardano, ydeshaciendo la sustitución inicial , las soluciones de la ecuación original.
Resolución
Partiendo de la ecuación
se realiza una sustitución del tipo .Entonces
Para hacer la equivalencia decoeficientes con la ecuación de partida, se toman estos como:
que también es equivalente al sistema de ecuaciones y . Llegado a este punto y utilizando las fórmulas de Viète, y son las soluciones delaecuación de segundo grado
De esta manera, se calcula el discriminante y se estudia su signo. Dependiendo de si es positivo, negativo o cero se obtendrán unas soluciones u otras.
Si Δ espositivo[editar · editar código]
La ecuación posee entonces una solución real y dos complejas. Si se establece que
La única solución real es entonces . Además, existen dos soluciones complejas conjugadas :
Si Δ escero
La ecuación posee entonces dos soluciones reales, una simple y una doble :
Si Δ es negativo
La ecuación posee entonces tres soluciones reales. Sin embargo, es necesario hacer una incursión enlos números complejos para encontrar todas las soluciones. Las soluciones son la suma de dos complejos conjugados y donde y ; es el siguiente conjunto :
La forma real de las soluciones se obtieneescribiendo en forma trigonométrica, obteniéndose :
El método de Cardano es un método para resolver analíticamente cualquier ecuación cúbica y que apareció por primera vez en el libro Ars Magna en 1545publicado por el matemático italianoGerolamo Cardano (1501-1576), aunque se dice que fue desarrollado originalmente por los matemáticos italianos Scipione del Ferro (1465-1526) y Niccolò...
La ecuación general de tercer grado
con números reales y se puede convertir en la forma normal dividiendo por y acomodando términos, con lo que queda:Sustituyendo se elimina de la forma normal el término cuadrático y se obtiene la forma reducida:
con lo cual,
y
La fórmula reducida es la que se utiliza entonces para resolver por el método de Cardano, ydeshaciendo la sustitución inicial , las soluciones de la ecuación original.
Resolución
Partiendo de la ecuación
se realiza una sustitución del tipo .Entonces
Para hacer la equivalencia decoeficientes con la ecuación de partida, se toman estos como:
que también es equivalente al sistema de ecuaciones y . Llegado a este punto y utilizando las fórmulas de Viète, y son las soluciones delaecuación de segundo grado
De esta manera, se calcula el discriminante y se estudia su signo. Dependiendo de si es positivo, negativo o cero se obtendrán unas soluciones u otras.
Si Δ espositivo[editar · editar código]
La ecuación posee entonces una solución real y dos complejas. Si se establece que
La única solución real es entonces . Además, existen dos soluciones complejas conjugadas :
Si Δ escero
La ecuación posee entonces dos soluciones reales, una simple y una doble :
Si Δ es negativo
La ecuación posee entonces tres soluciones reales. Sin embargo, es necesario hacer una incursión enlos números complejos para encontrar todas las soluciones. Las soluciones son la suma de dos complejos conjugados y donde y ; es el siguiente conjunto :
La forma real de las soluciones se obtieneescribiendo en forma trigonométrica, obteniéndose :
El método de Cardano es un método para resolver analíticamente cualquier ecuación cúbica y que apareció por primera vez en el libro Ars Magna en 1545publicado por el matemático italianoGerolamo Cardano (1501-1576), aunque se dice que fue desarrollado originalmente por los matemáticos italianos Scipione del Ferro (1465-1526) y Niccolò...
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