calculo

Dpto.
p Física y Mecánica

Cálculo tensorial
Elvira Martínez Ramírez

Notación
Transformaciones de coordenadas. Giros de ejes cartesianos
Tipos de tensores
Direcciones principales de un tensor de segundo orden
Transformaciones de coordenadas. Giros de ejes cartesianos
Invariantes tensoriales
Momento tensorial respecto a una recta R
Tensor de inercia
Cuádrica de inercia

OCW-UPM

Notación
ó

Untensor es un ente matemático que generaliza
los
os co
conceptos
ceptos de esca
escalar,
a , vector
ecto y ope
operador
ado lineal
ea
de una manera que sea independiente de cualquier
marco
a o d
de referencia
a elegido.
g do Los
os tensores
so s so
son d
de
importancia en física e ingeniería. Está constituido
por N componentes,
p
p
, q
que son función de las
coordenadas, y que se transforman pormedio de
ecuaciones de lineales y homogéneas
g

OCW-UPM

C
Convenio
de
d Einstein
n

a1b1 + a2b2 + a3b3 + .... + an bn = ∑ ai bi
i =1

n

a1b j c1 + a2b j c2 + a3b j c3 + .... + an b j cn = ∑ ai b j ci
i =1

en estas expresiones
p
la suma se verifica respecto
p
de dos
subíndices repetidos de su término general.
“Cuando en una expresión monomia figuren dos subíndices repetidos, se

entenderá que setrata de una suma en la que los subíndices repetidos van
sumados de 1 a n
n”.
n

∑ab = ab
i =1

i i

i i

OCW-UPM

Notación
ó

T: Tensor de componentes Tij
N: Número de componentes = nm
n: Orden del tensor
m: espacio
i (uni,
( i bi,
bi tridimensional)
t idi
i
l)

OCW-UPM

Notación
ó

Número de componentes
p
N = mn
Espacio m=0 (escalar)

m=1 (vector)

m=2 (diádica)

n=1
n
1

11=1 ((vx)

12=121=2 (vx,vy)

22=4
4

n=2
n=3

10=1
1
20=1
30=1

31=3 vx,vy,vz)

32=9

⎛ T11 T12 ⎞
⎜
⎟
T
T
⎝ 21 22 ⎠
⎛ T11 T12 T13 ⎞
⎜
⎟
T
T
T
21
22
23
⎜
⎟
⎜T T
⎟
⎝ 31 32 T33 ⎠
OCW-UPM

Transformaciones
f
d
de coordenadas.
d
d
Giros
G
d
de ejes cartesianos
El tensor es independiente del sistema de referencia que se utilice, lo único
que cambia
b
all pasar de
d un sistema de
d referencia
f
a otro son sus
componentespero no la magnitud física.

X´2
X

X2

X´1

G
G
G
v = 4u1 + 3u2

G
G
v = 5u´1

G
v =5
X1
OCW-UPM

Transformaciones
f
d
de coordenadas.
d
d
Giros
G
d
de ejes cartesianos
Z’1

Z1

Y’1

Y1

v 'i = v jα ij
X1

T 'ij = Trsα irα js
X’1
OCW-UPM

Transformaciones
f
d
de coordenadas.
d
d
Giros
G
d
de ejes cartesianos

Para un vector y un tensor, en el espacio n dimensional las
componentes
co
po e es een los
os nuevos
ue os ejes so
son

wi = v jα ij

T 'ij = Trsα irα js

en donde αij representan los cosenos de los ángulos que forman
los ejes nuevos con los antiguos.
antiguos

OCW-UPM

Transformaciones
f
d
de coordenadas.
d
d
Giros
G
d
de ejes cartesianos

Ejes X1X2X3

Ejes X´1X´2X´3

v1

w1

v2

w2

v3

w3

vj

wi
OCW-UPM

Transformaciones
f
d
de coordenadas.
d
d
Giros
G
d
de ejescartesianos

Ejes X1X2X3

⎛ T11 T12 T13 ⎞
⎜
⎟
⎜ T21 T22 T23 ⎟
⎜T T
⎟
T
⎝ 31 32 33 ⎠

Trs

Ejes X´1X´2X´3

⎛ T ´11 T ´12 T ´13 ⎞
⎜
⎟
T
´
T
´
T
´
22
23 ⎟
⎜ 21
⎜ T´ T´
T ´33 ⎟⎠
32
⎝ 31

T ´ij
OCW-UPM

Transformaciones
f
d
de coordenadas.
d
d
Giros
G
d
de ejes cartesianos

Las componentes de un vector son

v ′1 = α 11 v1 + α 12 v2 + α 13 v3
v ′2 = α 21 v1 + α 22 v2 + α 23 v3

v ′3 = α 31 v1 + α 32 v 2 + α 33 v3

⎛ w1 ⎞ ⎛ α11 α12 α13 ⎞⎛ v1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
w
=
α
α
α
22
23 ⎟⎜ v2 ⎟
⎜ 2 ⎟ ⎜ 21
⎜ w ⎟ ⎜α
⎟⎜ v ⎟
α
α
32
33 ⎠⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠ ⎝ 31

Para un ttensor d
P
de segundo
d orden,
d
cada
d nuevo término
té i se calcula
l l
mediante la expresión

T ′ ij = α irα

js

T

rs

T ′11 = T 11α 11α 11 + T 12 α 11α 12 + T 13 α 11α 13 + T 21α 12 α 11 + T 22 α 12 α 12 + T 23 α 12 α 13 + T 31α 13α 11 + T 32 α 13α 12 + T 33 α13α 13

OCW-UPM

Tipos de
d tensores

Dado el tensor

⎛ T11 T12 T13 ⎞
⎜
⎟
Tij = ⎜ T21 T22 T23 ⎟
⎜T T
⎟
T
⎝ 31 32 33 ⎠

Tensor transpuesto: se obtiene intercambiando filas y columnas

⎛ T11 T21 T31 ⎞
⎜
⎟
T ij = T ji = ⎜ T12 T22 T32 ⎟
⎜T T
⎟
T
⎝ 13 23 33 ⎠
OCW-UPM

Tipos de
d tensores

Dado el tensor

⎛ T11 T12 T13 ⎞
⎜
⎟
Tij = ⎜ T21 T22 T23 ⎟
⎜T T
⎟
T
⎝ 31 32 33 ⎠

Tensor adjunto: sus componentes...