Calculo

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MODULO PRECALCULO SEGUNDA UNIDAD
Funciones Algebraicas
Había un hombre en Roma que se parecía mucho a César Augusto; Augusto se enteró de ello, mandó buscarlo y le preguntó. ")Estuvo tu madre alguna vez en Roma?. El contestó, "No señor; pero mi padre sí estuvo" Francis Bacon

2.1. Funciones Algebraicas.
Objetivos. a) Expresar con funciones algebraicas algunosfenómenos naturales. b) Ejemplificar algunas funciones algebraicas con "variaciones". c) Interpretar la representación gráfica de funciones algebraicas como la solución de ecuaciones e inecuaciones en una variable. Muchos sucesos de la naturaleza se expresan por medio de funciones, en unos casos algebraicas y en otros trascendentes (no algebraicas). Ejemplos sencillos como: a) Una piedra lanzada alespacio describe una parábola con ecuación algebraica. b) La sangre que circula por un ser vivo tiene un movimiento descrito por una ecuación no algebraica. c) El agua calentada hasta su punto de ebullición sufre cambios de temperatura descritos por una ecuación algebraica lineal. Una función algebraica y = f(x) tiene como ecuación o fórmula una expresión polinómica, racional, raíz o la combinaciónde éstas. Como ejemplos están las funciones con sus gráficas:

f(x) = x³

f(x) = (x – 2)²/x

f(x) =

3 x − 5 son algebraicas,

pero f(x) = cos x

y

f(x) = log (x – 1) son trascendentes.

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Otros ejemplos comunes de funciones algebraicas lo constituyen las variaciones:
La variación como una Relación Funcional Algebraica. Hay dos tipos de relacionesfuncionales muy usados en la ciencia: la variación directa o directamente proporcional y la variación inversa o inversamente proporcional. Las expresiones “directa” e “inversamente” proporcionales son aplicadas en la variación de magnitudes. Así, se dice que dos magnitudes varían directamente cuando al aumentar (disminuir) una de ellas entonces aumenta (disminuye) la otra. En cambio, dos magnitudesvarían inversamente cuando al aumentar (disminuir) una de ellas resulta que la otra disminuye (aumenta).

En el primer caso se tiene y = kx, donde se dice que y varía directamente proporcional a x, y k … 0 es la constante de variación o de proporcionalidad. En general, este es un tipo de funciones polinómicas de la forma: y = kxn. Cuando no se indica el tipo de variación se sobreentiende que esdirecta. La circunferencia C varía directamente a su radio r, entonces: C = 2π r El área A del círculo varía directamente al cuadrado del radio r: A = π r5 El volumen V de la esfera varía directamente al cubo del radio: V = (4/3) π r3 La ecuación y = kx es una recta con pendiente k que pasa por el origen. En la ecuación y = kx5, se tiene que y varía directamente al cuadrado de x. En general, si y = kxn , se dice que y varía directamente a la potencia n-sima de x.

El otro tipo de variación se deduce de la ecuación xy = k, k … 0, y se dice que x y y varían inversamente proporcional, de donde y = k . Generalmente, es la ecuación racional: y = kn x x k equivale a que y varía Si el área A del rectángulo es constante, entonces La ecuación y = A = bh x se dice que su largo y su ancho varíaninversainversamente proporcional a x o sea yx = k. El mente, o bien que el largo varía inversamente producto de las variables xy es k: constante de proporcional al ancho o viceversa. proporcionalidad inversa. Cuando y = k se dice que y varía inversamente Si el volumen V del cilindro es constante, o sea x2 V = π r5h al cuadrado de x. entonces se dice que el cuadrado del radio de su En general, si y = knse dice que y varía base y su altura varían inversamente. x inversamente a la potencia n-sima de x. Ejemplo 1: Si y varía directamente a x5, y si y = 5 cuando x = 3, entonces halle k. Solución: La ecuación es y = kx5, y al sustituir y por 5 y x por 3 resulta 5 = k35, entonces k = 5/9 Luego, la ecuación que expresa La variación directa es y = (5/9)x 2 La constante de variación puede calcularse...