Calculo

LA RECTA NUMÉRICA
Def. 1
La representación gráfica de los números como puntos de una recta permite visualizar, sobre todo, las relaciones de orden. La suma es aún una construcción lineal, pero para construir productos hay que pasar al plano.

Esta representación permite descubrir “huecos” en Q ningún número racional puede representar la longitud de la diagonal del cuadrado de lado unidad.Dicho de otra forma, no existe ningún número racional a tal que a2 = 2 (porque si fuese a = m/n con m y n enteros sin factores primos comunes (n≠0), se sigue que m2 = 2n2, con lo que m2 – y por tanto m – debe admitir el factor 2; pero entonces m = 2p para algún entero p, y sustituyendo en la igualdad que teníamos queda 4p2= 2n2, es decir, 2p2= n2, luego n2 – y por tanto n- debe admitir el factor 2,que es así factor común a m y n, contra lo supuesto).

Para poder hablar de números que puedan representar estas cantidades es necesario proceder a una nueva ampliación de los sistemas numéricos. Así pasamos a considerar el conjunto R de los números reales o, más exactamente, las propiedades de R (sin entrar en su naturaleza: no diremos “qué es” un número real, sino “cómo funcionan” los númerosreales”

Si comprendió todo lo antes escrito “FELICIDADES”, su capacidad de abstracción y razonamiento tienen muy buen nivel.

Analicemos ahora la siguiente definición sobre la recta numérica.

Def. 2
Una escala o recta numérica es una representación gráfica de los números reales por medio de los puntos de una recta. A cada número le corresponde un solo punto de la recta y recíprocamente.Por tanto, los vocablos número y punto (en una escala numérica) se pueden utilizar indistintamente.

Para establecer una escala numérica sobre una recta hay que efectuar las siguientes operaciones:
i) Tomar un punto cualquiera de ella como origen (asignándole el 0),
ii) Elegir un sentido positivo (se indica por medio de una flecha) y
iii) Con una unidad de medida adecuada situar elpunto +1 a una distancia del 0 igual a dicha unidad. Los números (puntos) N y –N están a ambos lados de 0 y a N unidades de él.

Pero, los números reales, ¿cuáles son?

Si de inicio observa esta clasificación de los números reales, ¿sería comprensible en su totalidad?

A continuación, describiremos los conceptos brevemente para asimilarlos.

NÚMEROS NATURALES:

Los números naturales nossirven para contar y una propiedad importante es que todos los números naturales tienen un sucesor que también es un número natural y que todos excepto el 1 tienen un antecesor que también es un número natural. Esto es:

Si k∈N se define como k+1 y además k+1 ∈N .

Si k∈N , k≠1, se define su antecesor como k-1 ∈N

Se define el conjunto de los números naturales como:

N={1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9,…

En N se definen dos operaciones: una suma y un producto, las cuales son cerradas, conmutativas, asociativas, y distributivas, además de existir el neutro de la multiplicación; sin embargo, los números naturales carecen de propiedades para describir algunos fenómenos físicos como por ejemplo temperaturas bajo cero, altitudes por debajo del mar y la distancia entre dos puntos iguales,más precisamente carecen de la existencia de elementos neutros y de inversos aditivos.

Un conjunto “más grande” que resuelve este inconveniente se define como el conjunto de los números enteros.

NÚMEROS ENTEROS
Se define el conjunto de los números enteros como:

Z=….., -2, -1, 0, 1, 2, …

En el conjunto de los números enteros también se definen operaciones de suma y producto, que son denueva cuenta cerradas, conmutativas, asociativas y distributivas, y con elemento neutro multiplicativo, pero se agregan ahora la existencia del “cero” y la presencia de “números negativos” conocidas como propiedades de la existencia del elemento neutro aditivo y de la existencia de inversos aditivos. Esto permite la definición de la resta como operación derivada de la suma de un número con el...