calculo3 solemne 1 2007 1

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
FACULTAD DE INGENIERIA
Instituto de Ciencias Básicas

PRUEBA SOLEMNE I CÁLCULO III
16-04-2007

Esta es una Prueba de desarrollo matemático; cuando se apoye en lacalculadora debe indicar las funciones o comandos o programas que use.

1.

Considere los planos de ecuaciones

π1 : x + y + z = 0 y π 2 : x + 2y + 3z = 1.

a) Calcule el ángulo entre estos planos.
b) Encuentrelas ecuaciones paramétricas de la recta intersección de

π1 y π 2 .

c) Determine la ecuación del plano que pasa por el punto P(2, 2, -3)
intersección de

2.

y por la

π1 y π 2 .

Sea C la curva queresulta de la intersección del cilindro y = x 2 con el plano z = 2x.
Obtenga los vectores tangente unitario (T), normal unitario (N) y binormal unitario (B) a
la curva C en el punto P(1, 1, 2).Determine además la ecuación del plano osculador a la
curva en P.

3.

a) Calcule el vector de posición r(t) de una partícula que tiene aceleración a(t) =
(1, 2, 2t), velocidad inicial cero y posicióninicial r(0) = (1, 0, 1).
b)

Si la rapidez de una partícula en movimiento es constante, demuestre que su vector
aceleración es ortogonal a su vector velocidad.

4.

Sean f y g las funciones definidas porf(x, y) = arcsen(x + y), g(x, y) = x − y 2 .
a) Determine y grafique el dominio de f.
b) Grafique y describa, indicando el tipo de curva y sus puntos de interés, las curvas de
nivel g(x, y) = k, parak = -4, 0, 2, 4.

Puntaje: 1,5 puntos cada pregunta + 1 punto base
Tiempo: 105 minutos.

PAUTA
1.

a) Los vectores normales de π1 y π 2 son
respectivamente. El ángulo entre estos planos es:

⎛
ϑ =cos − 1 ⎜⎜
⎝ ||
⎛
= cos − 1 ⎜⎜
⎝

v1 = (1, 1, 1) y

v2 = (1, 2, 3)

⎞
v1 • v 2
⎟
v 1 || || v 2 || ⎟⎠
6 ⎞
⎟⎟ ≈ 22 ,207 °
42 ⎠
(0,5 pto)

b) La intersección de los planos se encuentra, por ejemplo,resolviendo

Si tomamos a z como variable independiente, las ecuaciones paramétricas de la
recta intersección de los planos son:
⎧x = −1 + t
⎪
⎨ y = 1 − 2t
⎪ z=t
⎩

(0,5 pto)

c) En la recta intersección...