calculo3 solemne 1 2009 1

U IVERSIDAD DIEGO PORTALES
FACULTAD DE I GE IERÍA CIVIL
I STITUTO DE CIE CIAS BÁSICAS

PAUTA SOLEM E ° 1 DE CÁLCULO III

1. Determine los vectores velocidad y de posición de una partícula que tieneaceleración
ሬԦ ሺ0ሻ = ሺ1, 1, 0ሻ ݉/‫ ݃݁ݏ‬y posición
‫ܣ‬Ԧ ሺ‫ݐ‬ሻ = ሺ0, 0, −10ሻ ݉/‫݃݁ݏ‬ଶ , velocidad inicial ܸ
inicial ܴሬԦ ሺ0ሻ = ሺ0, 0, 0ሻ.
Solución:
Integramos, respecto de ‫ݐ‬, la aceleración:
ሬԦ ሺ‫ݐ‬ሻ =න ‫ܣ‬Ԧ ሺ‫ݐ‬ሻ݀‫ݐ‬
ܸ

ሬԦ ሺ‫ݐ‬ሻ = නሺ0, 0, −10ሻ݀‫ݐ‬
ܸ

ሬԦ ሺ‫ݐ‬ሻ = ሺܽ, ܾ, −10‫ ݐ‬+ ܿሻ
ܸ
ሬԦ ሺ0ሻ = ሺ1, 1, 0ሻ, se tiene:
Como ܸ
ሬԦ ሺ0ሻ = ሺܽ, ܾ, −10ሺ0ሻ + ܿሻ = ሺ1, 1, 0ሻ
ܸ
Entonces: ܽ = 1, ܾ = 1 y ܿ = 0.
Lavelocidad de la partícula, es:
ሬԦ ሺ‫ݐ‬ሻ = ሺ1,1, −10‫ݐ‬ሻ ݉/‫݃݁ݏ‬
ܸ
Integramos, nuevamente:

0,6 Puntos

ሬԦ ሺ‫ݐ‬ሻ݀‫ = ݐ‬ሺ‫ ݐ‬+ ܽ, ‫ ݐ‬+ ܾ, −5 ‫ ݐ‬ଶ + ܿሻ
ܴሬԦ ሺ‫ݐ‬ሻ = න ܸ

Como ܴሬԦ ሺ0ሻ = ሺ0, 0, 0ሻ, se tiene:Por lo tanto:

ܴሬԦ ሺ0ሻ = ሺܽ, ܾ, ܿሻ = ሺ0,0,0ሻ => ܽ = ܾ = ܿ = 0
ܴሬԦ ሺ‫ݐ‬ሻ = ሺ‫ݐ‬, ‫ݐ‬, −5‫ ݐ‬ଶ ሻ, ݉

0,6 Puntos

2. Halle la longitud de la curva ∁: ܴሬԦ ሺ‫ݐ‬ሻ = ሺ‫ ݐ‬ଶ , sin ‫ ݐ‬− ‫ ݐ‬cos ‫ ݐ‬, cos ‫ ݐ‬+‫ ݐ‬sin ‫ݐ‬ሻ, 0 ≤ ‫ߨ ≤ ݐ‬.
Solución:
La longitud de la curva ∁, se obtiene de:

గ

‫ = ܮ‬න ቛ ሬሬሬԦ
ܴ′ሺ‫ݐ‬ሻቛ ݀‫ݐ‬
଴

Donde ሬሬሬԦ
ܴ′ሺ‫ݐ‬ሻ = ሺ2‫ݐ‬, cos ‫ ݐ‬− cos ‫ ݐ‬+ ‫ ݐ‬sin ‫ݐ‬, − sin ‫ ݐ‬+ sin ‫ ݐ‬+ ‫ݐ‬cos tሻ =
Duración: 90 minutos.
Puntaje: 1,2 puntos cada pregunta.

0,4 Puntos

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FACULTAD DE I GE IERÍA CIVIL
I STITUTO DE CIE CIAS BÁSICAS

ሬሬሬԦሺ‫ݐ‬ሻ = ሺ2‫ݐ‬, ‫ ݐ‬sin‫ݐ‬, ‫ ݐ‬cos tሻ => ฮ ሬሬሬሬԦ
ܴ′
ܴ ᇱ ሺ‫ݐ‬ሻฮ = ඥሺ2‫ݐ‬ሻଶ + ሺ‫ ݐ‬sin ‫ݐ‬ሻଶ + ሺ‫ ݐ‬cos ‫ݐ‬ሻଶ =
Por lo tanto:

= ඥ4‫ ݐ‬ଶ + ‫ ݐ‬ଶ ሺሺsin ‫ݐ‬ሻଶ + ሺcos ‫ݐ‬ሻଶ ሻ = √5 ‫ݐ‬

ሬሬሬԦሺ‫ݐ‬ሻቛ ݀‫√ ׬ = ݐ‬5 ‫= ݐ݀ݐ‬
‫׬ = ܮ‬଴ ቛ ܴ′
଴
గగ

√ହ గమ
ଶ

unidades de longitud.

0,4 Puntos

0,4 Puntos

3. (a) Dibuje la región en ℝଷ , limitada superiormente, por el paraboloide ‫ = ݖ‬9 − ‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݕ‬ଶ
e inferiormente, por el plano ‫ = ݖ‬0.
(b)Encuentre y dibuje los vectores normales a las superficies dadas, que salen de estas
superficies.
Solución:
(a) Las superficies, se pueden escribir, como:
‫ ݖ = ܨ‬+ ‫ݔ‬ଶ + ‫ݕ‬ଶ − 9 = 0
y...