calculo4

1.- Sea F: c
sea
∑
si:

n

una función acotada e integrable en un conjunto medible X y
una partición en de finura ; entonces F es integrable si y solo
.

Para realizar lademostración se utilizará lo siguiente:
Proposición: Sea F:

Observación: Sea F:
de , entonces

c

n

c
con

Definición: Sea F:
medible X y sea
F:
Proposición: Sea F:medible X y sea

n

n

c

c

una función acotada en
partición de .
una función acotada en
.

medible, entonces

medible y

partición

una función acotada eintegrable en un conjunto
una partición en de finura , se llama variación de
.
n

una función acotada e integrable en un conjunto
una partición en de finura , entonces
∑Definición: Sea F:
c n
integrable a la función F en

una función definida en
si
donde |
∑

medible, se llama
de

- |
∫

Demostración:
F es integrable en , i.e.

, es decirque
, en particular para i.e.

|

|

Sabemos que
separamos las desigualdades
y
de aquí

, sumando ambas desigualdades tenemos que

sabemos por proposición que ∑

espositivo

∑
∑

aplicando límite se tiene
∑

.

∑
*Donde
el procedimiento es análogo a la demostración del
Criterio de Integración visto en clase.
Hipótesis

Porproposición

∑

sabemos

, por demostrar que F es integrable i.e.

que

sabemos también que
la desigualdad tenemos

sumando las desigualdades se tiene que

∑
, separandonuevamente

aplicamos límite
por hipótesis

es decir

Regresando a (1) tenemos

y restamos

entoces

, aplicamos límite

así

……… (2)
|

pues
por otro lado
sesigue que

|

|

multiplicando por -1 la desigualdad y sumando

aplicamos límite

……… (3)
volvemos a

Por lo tanto F es integrable en

|

y aplicamos límite

■