CalculoI_Funciones_y_Limites_Grupo_1_DeLecturas

Cap´ıtulo 1

Funciones y L´ımites.
1.1.

Funciones.

Relaci´on. Entre dos conjuntos X e Y es un conjunto de pares ordenados,
cada uno de la forma Ôx, y Õ donde x es un elemento de X, e y es un elemento
de Y .
Funci´
on. De X a Y es una relaci´on entre X e Y con la propiedad de que
si dos pares ordenados tienen el mismo valor de x, entonces tambi´en tienen el
mismo valor de y.
La variable x sedenomina variable independiente.
La variable y se denomina variable dependiente.
El ´
area A de un c´ırculo es una funci´
on de su radio r: (A π ¦ r2 ).

1.2.

Funci´
on real de una variable real.

Sean X e Y dos conjuntos de n´
umeros reales. Una funci´
on real f de una
variable real x de X a Y es una correspondencia que asigna a cada n´
umero x
de X exactamente un n´
umero y de Y (Figura 1.1).
Elconjunto X se llama dominio de f .
El n´
umero y se denomina la imagen de x por f y se denota por f ÔxÕ.
El recorrido de f se define como el subconjunto de Y formado por todas las
imagenes de los n´
umeros de X.

1.3.

Notaci´
on de funci´
on.

La ecuaci´
on x2  2y 1 define y, la variable dependiente como una funci´
on de
x, la variable independiente en una forma impl´ıcita. Para evaluar estafunci´
on (es
decir, para
  hallar¨ el valor de y correspondiente a un valor de x dado, despejamos
y: y 12 1 ¡ x2 con lo que hemos escrito la ecuaci´
on en forma expl´ıcita.
1

CAP´ITULO 1. FUNCIONES Y L´IMITES.

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Figura 1.1: Funcion real de una variable real.
Al denotar por f la funci´
on, podemos escribir esta ecuaci´
on empleando notaci´on de funciones:
f ÔxÕ

¨
1 
1 ¡ x2
2

Donde: x: variableindependiente, f : variable dependiente

1.4.

Dominio y recorrido de una funci´
on.

El dominio de una funci´
on puede describirse expl´ıcitamente o bien impl´ıcitamente mediante la ecuaci´
on empleada para definir la funci´
on. Dominio impl´ıcito
es el conjunto de todos los n´
umeros reales para los cuales est´
a definida la funci´
on. Dominio expl´ıcito es el que se da junto con la funci´
on.Ejemplo:
f ÔxÕ

1
,4
x2 ¡ 4

x

5

tiene un dominio definido expl´ıcitamente como Øx 4
g ÔxÕ
tiene el dominio impl´ıcito Øx x

¨ 2 Ù.

x

5 Ù.

1
x2 ¡ 4

Ejemplo:
f ÔxÕ

x¡1

El dominio de la funci´
on es el conjunto de valores de x tales que x ¡ 1 0, es decir, el intervalo Ö1,   Õ. Para hallar el recorrido, observemos que f ÔxÕ
x¡1
nunca es negativo. As´ı pues el recorrido es el intervalo Ö0,   Õ.Ejemplo:

´
´
1.5. GRAFICA
DE UNA FUNCION.

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Figura 1.2: Criterio de la recta vertical.
f ÔxÕ

1¡x
si x
x ¡ 1 si x

1
1

a definida para x 1 y tambi´en para x 1, su dominio es
Dado que f ÔxÕ est´
1, como en
toda la recta real Ô¡ ,   Õ. En la parte del dominio donde x
el ejemplo anterior, el recorrido es Ö0,   Õ. Para x
1, todos los valores son
positivos Ö0,   Õ; por consiguiente, el recorrido dela funci´
on es Ö0,   Õ.

1.5.

Gr´
afica de una funci´
on.

La gr´
afica de una funci´
on est´
a formada por todos los puntos Ôx, f ÔxÕÕ, donde
x pertenece al dominio de f .
x es una distancia dirigida desde el eje y.
f ÔxÕ es una distancia dirigida desde el eje x.
Una recta vertical puede cortar la gr´afica de una funci´
on de x a lo sumo una
vez. Esta observaci´
on proporciona un criteriovisual adecuado (llamado criterio
de la recta vertical ) para funciones de x (Figura 1.2).

1.6.

Gr´
aficas de funciones b´
asicas.

(Vea el documento electr´onico en https://www.ed-des-i.umich.mx/fie)

1.7.

Transformaciones de funciones.

Algunas familias de gr´
aficas tienen esencialmente la misma forma. Por ejemplo, comparemos la gr´
afica de y x2 con y x2   2; y Ôx   2Õ2 ; y
¡x2 ;
2
y 1 ¡ Ôx   3Õ.
Las gr´
aficas de estas funciones son transformaciones de la gr´afica de y x2
Existen tres tipos b´
asicos de transformaciones:
Traslaciones verticales.
Traslaciones horizontales.
Reflexiones.

CAP´ITULO 1. FUNCIONES Y L´IMITES.

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afica original y f ÔxÕÕ:
Tipos b´
asicos de transformaciones para c 0 (gr´
(Vea el documento electr´onico en https://www.ed-des-i.umich.mx/fie)
traslaci´
on...