CALCULOI U4

UNIDAD 4
COMPORTAMIENTO GRÁFICO Y PROBLEMAS DE
OPTIMIZACIÓN
Propósitos: Analizar las relaciones existentes entre la gráfica de una función y
sus derivadas para obtener información sobre el comportamiento de la función,
utilizar dicha información para resolver problemas de optimización.
Aprendizajes. Al finalizar el alumno:
• Determina gráfica y algebraicamente los intervalos en donde una funciónes
creciente o decreciente.
• Bosqueja la gráfica de la derivada de una función dada la gráfica de la
misma.
• Determina los puntos críticos de una función y los clasifica en máximos o
mínimos.
• Grafica una función analizando la información que proporciona su primera
derivada.
• Analiza el tipo de concavidad de la función a partir del signo de la segunda
derivada.
• Grafica una función analizandola información que proporcionan su primera y
segunda derivada.
• Determina los puntos críticos de una función y los clasifica en máximos,
mínimos o inflexiones usando el criterio de la segunda derivada.
• Resolver problemas que involucren máximos y mínimos de una función.
Introducción.
En la unidad 2, vimos diferentes situaciones que se modelan con funciones
polinomiales de 1°, 2° y 3° grado.Para apreciar el poder del Cálculo como una
herramienta, iniciaremos esta unidad con la graficación de funciones y su
aplicación a la solución de problemas de optimización, razón por la cual
necesitamos precisar algunos conceptos como; función creciente, función
decreciente, concavidad hacia arriba, concavidad hacia abajo, entre otras.
Empecemos con un problema de un automóvil con velocidadconstante. Un
automóvil viaja con una velocidad constante de 60 m/seg. En el momento en
que empezamos a medir el tiempo t (t = 0), el automóvil se encuentra a 40
metros de la derecha de un punto de referencia A sobre la carretera, tal y como
se muestra en la figura.
t=0
instante t
A
0

40

x

Si x(t) es la posición del automóvil correspondiente al tiempo t, podemos
escribir
x(t) = 40 + 60t

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Elcoeficiente 60 indica la razón a la que aumenta la posición con respecto al
tiempo, cuyo valor coincide con la pendiente de la recta dada por la función
lineal x(t) = 40 + 60t.
x(t)
280
220
160
100
40
0

1

3

2

4

t

Fijemos las siguientes ideas, la razón de cambio, en este caso la pendiente, es
de 60 m/seg y su posición inicial x = x(0) = 40 m, que representa la ordenada al
origen, nos proporciona unagráfica como se ve en la figura anterior.
Observa que cuando el tiempo t aumenta, el automóvil recorre una mayor
distancia x(t). En general, si la variable independiente aumenta y la variable
dependiente lo hace también, decimos que la gráfica de x = x(t) asciende
cuando t aumenta de valor y la función x es una función creciente.
Problema de la taza de café. Una taza de café se calienta hasta quealcanza
una temperatura de 95°. La taza se expone al medio ambiente el cual se
encuentra a una temperatura de 25° C. Supongamos que en los primeros 10
minutos la temperatura de la taza de café disminuye uniformemente a razón de
5° C por minuto. La fórmula encontrada para la temperatura T de la taza de
café a los t minutos está dada por:
T(t) = 95 - 5t
A continuación te mostramos la gráfica de latemperatura con respecto al
tiempo.
T(t)
95

45
t
0

5

10

Como T = T(t) disminuye a medida que t aumenta, decimos que T es una
función decreciente.
Con los elementos de los ejemplos dados anteriormente, podemos construir
una definición de función creciente y función decreciente.

73

•
•
•
•

Una función f es creciente si los valores de y = f(x) aumentan a medida
que x aumenta.
Una función f esdecreciente si los valores de y = f(x) disminuyen a
medida que x aumenta.
La gráfica de una función creciente sube al recorrerla de izquierda a
derecha.
La gráfica de una función decreciente baja al recorrerla de izquierda a
derecha.

Actividad 1.
1. Determina, con base en la gráfica de la función, en qué intervalos y = f(x) es
creciente y en qué intervalos decreciente.
a) (x1,x2).
y
b)...