CalculoII

Cap´
ıtulo 6
Soluci´n de Pruebas anteriores
o

Soluci´n de la Prueba 3
o
6 de julio de 2004

1. (2 pts) Encuentre la soluci´n particular de la ecuaci´n diferencial
o
o
y x2 + 2xy + y 2 = 0
que satisface y(−1) = 1
Soluci´n: Dividimos la ecuaci´n por x2 para obtener:
o
o
2
y2
y + y+ 2 = 0
x
x
2
y2
y + y = − 2
x
x
Lo que representa una ecuaci´n de Bernoulli, con n = 2.Multiplicando esta ultima
o
´
ecuaci´n por y −2 y por −1 obtenemos:
o
2
1
−y −2 y − y −1 = 2
x
x
177

178

Pruebas Resueltas
Ahora, sustituyendo z = y −1 obtenemos z = −y −2 y , con lo cual obtenemos una
ecuaci´n lineal en z, a saber:
o
2
1
z − z = 2
x
x
. Esta ecuaci´n tiene como factor integrante a la funci´n u = x−2 . Multiplicando
o
o
por este factor, el lado izquierdode la ecuaci´n se transforma en la derivada de un
o
producto:

(x−2 z)

=

1
x4

Integrando a ambos lados con respecto a x obtenemos:

1
x−2 z = − x−3 + c
3
1
z = − x−1 + cx2
3
1
1
= − x−1 + cx2
y
3
3x
y =
3cx3 − 1
Al incorporar la condici´n y(−1) = 1 obtenemos c = 2/3 de modo que
o

y =

3x
−1

2x3

2. (2 pts) Calcular la integral de l´
ınea
(2xy + y 2 ) dx+ (x + y)2 dy
C

donde C es la curva λ(t) = (t, sin t), con t ∈ [0, π/2]
Soluci´n: El campo vectorial es conservativo, puesto que ∂M = 2x + 2y =
o
∂y
Buscamos entonces una funci´n potencial f , a partir de la ecuaciones
o

∂N
.
∂x

C´lculo II, Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas C.
a

179

∂f
= 2xy + y 2
∂x
∂f
= (x + y)2
∂y

(6.1)
(6.2)

Integrando la igualdad (6.1)con respecto a x se obtiene:
f (x, y) = x2 y + xy 2 + g(y)
Y luego derivando esta ultima con respecto a y, y usando la igualdad (6.2) se obtiene:
´
∂f
∂y

= x2 + 2xy + g (y)
= x2 + 2xy + y 2

Por lo que g(y) = y 3 /3, lo que nos da como funci´n potencial f (x, y) = x2 y + xy 2 +
o
y 3 /3. Ahora, la integral de l´
ınea se puede calcular simplemente evaluando esta funci´n
o
potencialen los puntos extremos de la curva. Estos puntos son: λ(0) = (0, 0) y
λ(π/2) = (π/2, 1).
Entonces,

(2xy + y 2 ) dx + (x + y)2 dy = f (π/2, 1) − f (0, 0)
C

= π 2 /4 + π/2 + 1/3

3. (2 pts) Calcular la integral de l´
ınea del campo vectorial F (x, y) = (3x2 y + y 3 , 3y 3 + y 2 )
sobre la curva λ(t) = (2 cos t, 2 sin t), con 0 ≤ t ≤ 2π.
Soluci´n: En este caso podemos usar el Teorema deGreen, dado que la curva es cerrao
da y est´ orientada positivamente (c´
a
ırculo de radio 2 centrado en el origen). Entonces,
si llamamos I a la integral de l´
ınea, tenemos,

I =
R

∂N
∂M
−
∂x
∂y

dA

− 3x2 + 3y 2 dA

=
R

180

Pruebas Resueltas
donde R es la regi´n del plano encerrada por este c´
o
ırculo. Esta integral doble la
calculamos usando coordenadaspolares:
2π

2

3x2 + 3y 2 dA = −

−
R

3r2 r dr dθ
0

0
2π

= −

3/4(16) dθ
0

= −24π

C´lculo II, Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas C.
a

181

Soluci´n Prueba Opcional
o
13 de julio de 2004

1. (2 pts) Calcular el volumen del s´lido acotado por las superficies
o
z = 3x2 + 3y 2 ,

y = 9 − x2 ,

y = −2,

x=0yz=0

.
Soluci´n: La superficie techo es elparaboloide z = 3x2 + 3y 2 , el piso es el plano z = 0
o
y la regi´n de integraci´n est´ definida por:
o
o
a
√
R = (x, y) | − 2 ≤ y ≤ 9 − x2 , 0 ≤ x ≤ 11
Por lo tanto, el volumen del s´lido est´ dado por:
o
a
√

V

11

9−x2

(3x2 + 3y 2 ) dy dx

=
0

√

−2
11

2

3x2 y + y 3 ]9−x
−2

=
0

√

11

[3x2 (9 − x2 ) + (9 − x2 )3 ] − [−6x2 − 8] dx

=
0

√

11

[737− 210x2 + 24x4 − x6 ] dx

=
0

=

12.518 √
11
35

2. (2 pts) Calcular la integral triple
x2 + y 2 + z 2 dV
Ω

donde Ω es el s´lido sobre el cono z 2 = 3x2 + 3y 2 y bajo la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4.
o
Soluci´n: El s´lido se puede describir en coordenas esf´ricas de siguiente modo:
o
o
e
Ω = {(ρ, θ, φ) | 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π/6}
La ultima desigualdad para φ se...