CalculoIII 1

C´alculo infinitesimal
de varias variables reales
Volumen 1

Jos´e Mar´ıa Rocha Mart´ınez
Departamento de
Matem´aticas
Escuela Superior de F´ısica
y Matem´aticas
del I.P.N.

Gabriel D. Villa Salvador
Departamento de
Control Autom´atico
Centro de Investigaci´on
y de Estudios Avanzados
del I.P.N.

Contenido
Contenido

ii

Prefacio

iii

1 El espacio Rn .
1.1 Rn como espacio euclideano .
1.2Propiedades de la norma y del
1.3 Normas y m´etricas en Rn . . .
1.4 Ejercicios . . . . . . . . . . .

1
1
2
6
10

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producto interno.
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2 Topolog´ıa de Rn .
15
2.1 Conjuntos abiertos y cerrados. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Sucesiones en Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Conjuntos compactos y conexos
35
3.1 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Topolog´ıa relativa y conjuntos conexos . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 41
3.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Funciones en Rn
53
4.1 L´ımites de funciones y funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Derivadas
75
5.1 Resultados fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 75
5.2 Derivadas parciales y representaci´on matricial . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6 Teorema de Taylor
6.1 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 El Teorema de Taylor y sus aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 M´aximos y m´ınimos . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111
. 111
. 121
. 129

ii

Contenido

6.4

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7 Funciones inversas e impl´ıcitas
7.1 Teorema de la Funci´on Inversa .
7.2 Teorema de la Funci´on Impl´ıcita
7.3 Multiplicadores de Lagrange . .
7.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . .

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145
. 145
. 154
. 162
. 168

A Desigualdad de Minkowski

175

Bibliograf´ıa

179

Prefacio
El c´alculo infinitesimal de varias variables reales es un tema de particular relevancia en
las ´areas de ingenier´ıa y deciencias f´ısico–matem´aticas.
El presente volumen trata sobre el c´alculo diferencial de varias variables reales. Hay
muchas formas de presentar el material aqu´ı tratado. Nosotros elegimos un punto de
vista te´orico, aunque sin descuidar ejemplos que ilustren nuestros resultados. Debido a
lo anterior, la aproximaci´on al c´alculo integral aqu´ı presentada hace adecuado este texto
para los estudiantesdel segundo ´o tercer a˜
no de licenciatura en las carreras de f´ısica y/´o
matem´aticas.
En el Cap´ıtulo 1 etudiamos el espacio Rn como espacio euclideano. Posteriormente
vemos las propiedades fundamentales de funciones norma y m´etricas en Rn .
En los Cap´ıtulos 2 y 3 estudiamos la topolog´ıa de Rn .
El Cap´ıtulo 4 trata fundamentalmente sobre las funciones definidas sobre Rn .
El Cap´ıtulo 5es sobre derivadas y diferenciales en varias variable.
En el Cap´ıtulo 6 tratamos sobre el Teorema de Taylor y sus aplicaciones.
El u
´ltimo cap´ıtulo es funciones inversas y funciones impl´ıcitas.
Finalizamos con un ap´endice en el cual se presenta la demostraci´on de la desigualdad
de Minkowski.
Al final de cada cap´ıtulo proponemos una lista de ejercicios los cuales complementan
y aclaran lo...