CalculoIV 1

C´alculo infinitesimal
de varias variables reales
Volumen 2

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Gabriel D. Villa Salvador
Departamento de
Control Autom´atico
Centro de Investigaci´on y de
Estudios Avanzados del I.P.N.

Contenido
Contenido

ii

Prefacio

iii

1 Integrales en Rn .
1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Interpretaci´on Geom´etrica de la Integral
1.3 Numerabilidad . . . . . . . . . . . . . .
1.4Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Medida y Contenido 0
25
2.1 Conjuntos de Medida 0 y de Contenido 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 35
3 Teorema de Lebesgue
39
3.1 Teorema de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Conjuntos Jordan–medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Teorema de Fubini
4.1 Integrales Param´etricas
4.2 Teorema de Fubini . .
4.3Integrales Impropias .
4.4 Ejercicios . . . . . . .

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5 Cambio de Variable
5.1 Particiones de Unidad . . . . . . . . . . . .
5.2 Aplicaciones de las Particiones de Unidad .
5.3 Teorema del Cambio de Variable . . . . . . .
5.4 Coordenadas Polares, Esf´ericas y Cil´ındricas
5.5 Ejercicios . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

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119125

ii

6 Integrales de L´ınea y de Superficie
6.1 Integrales de L´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Interpretaci´on Geom´etrica de la Integral de L´ınea
6.1.2 Propiedades de la Integral de L´ınea . . . . . . . .
6.2 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Integrales de Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂g ∂g
6.3.1 Interpretaci´onGeom´etrica de
×
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∂u ∂v
6.4 Teoremas de Stokes y Gauss . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . 170

A Teorema de Cantor-Bernstein
175Teorema de Cantor-Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Bibliograf´ıa

179

Notaciones

181

Indice

183

Prefacio
El c´alculo infinitesimal de varias variables reales es un tema de particular relevancia en
las ´areas de ingenier´ıa y de ciencias f´ısico–matem´aticas.
El presente volumen trata sobre el c´alculo integral de varias variables reales. Hay
muchas formasde presentar el material aqu´ı tratado. Nosotros elegimos un punto de
vista te´orico, aunque sin descuidar ejemplos que ilustren nuestros resultados. Debido a
lo anterior, la aproximaci´on al c´alculo integral aqu´ı presentada hace adecuado este texto
para los estudiantes del segundo ´o tercer a˜
no de licenciatura en las carreras de f´ısica y/´o
matem´aticas.
En el Cap´ıtulo 1 primero introducimosel concepto de Integral de Riemann en el espacio
Rn y a continuaci´on damos una interpretaci´on geom´etrica de ella. Finalizamos dando los
conceptos fundmentales sobre numerabilidad.
El Cap´ıtulo 2 damos los conceptos de medida 0 y de contenido 0.
El Cap´ıtulo 3 trata fundamentalmente sobre el Teorema de Lebesgue, el cual nos
caracteriza la integrabilidad de una funci´on por medio de su...