calculos


“Año de la Inversión para el Desarrollo Rural
y la Seguridad Alimentaria”



Escuela Profesional de Ingeniería

Curso : Cálculo I.
Tema : Volúmenes de solidos de Revolución con integrales.
Estudiante : Saravia Manrique Evellinn.
Gutiérrez Hilario Juan Carlos.
Núñez Huamani SaúlJhossimar.
Laopa Aquije Raúl.
Montés Guillermo Erick.
Docente : Lic. Navarrete Rivadeneyra Víctor Néstor.


ICA-PERU-2013

















DEDICATORIA:
A nuestros profesores quienes son nuestros guías en el buen aprendizaje dándonos los últimos conocimientos para nuestro buen desenvolvimiento en lasociedad.


Introducción
Si una región plana, situada completamente a un lado de una línea fija en su plano, gira alrededor de este, entonces se genera un sólido de revolución. La recta fija se llama eje del sólido de revolución.
Si la región limitada por un semicírculo y su diámetro gira entorno a este, genera un sólido esférico. Si la región interior de un triangulo rectángulo gira alrededor deuno de sus catetos, genera un sólido cónico. Cuando una región circular gira alrededor de una recta en un plano que no se intersecta al circulo genera un toro (dona). En cada caso, es posible representar el volumen como una integral definida.









Índice



















Marco Teórico




















Desarrollo del TemaVolúmenes de Solidos de Revolución con Integrales
Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.


Definición:


Para determinar elvolumen de este tipo de sólidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el ``volumen'' de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes de sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido.
Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los sólidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, pordefinición, el producto del área de la base por el espesor (o altura).










Concepto:
Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. dicha recta se denomina eje de revolución.
Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. si laregión r indicada en la figura rota alrededor del eje x, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.
Propiedades:
Si f(x) y g (x) son dos funciones que tienen integral indefinida, y k es una constante, entonces


La integral de la función nula f(x)=0, es:

La integral de una función constante f(x)=k, es:

Ejemplos:
1. 
2. 
La integral de una funciónf(x)=x, es 
La integral de una función potencia f(x)= , con , es:

Ejemplos:
1. 
2. 

Métodos
Método de discos:

Inicialmente la rotación será alrededor de una de los ejes coordenados 
la región limitada por la gráfica de la curva  las rectas   el eje rota alrededor del eje.  Se hace una partición del intervalo  para un su intervalo  se toma  
las secciones transversales perpendiculares aleje de rotación son discos circulares de radio. Así el volumen de un disco será  de modo que  
al tomar el límite cuando la norma de la partición tiende a cero 

 
Ejemplo 1: 
Utilizando rotación de una semicircunferencia alrededor del eje  se puede verificar
que el volumen de una esfera es  tomando la parte superior de la circunferencia   y haciendo rotar la región limitada por la...