Calculos

SERIES DE POTENCIAS:
Una serie de potencias es una serie de la forma:

Donde  es una variable y las  son constantes que se denominan coeficientes de la serie. Para cada  establecida, la serie(1) es una serie de constantes que puede probar para ver si son convergentes o divergentes. Una serie de potencias podría ser convergente para algunos valores de  y ser divergente para otros. La sumade la serie es una función.


Cuyo dominio es el conjunto de todas las  para las cuales la serie es convergente. Observe que  es parecida a un polinomio. La única diferencia es que  tiene unacantidad infinita de términos.

EJEMPLOS: 1
Para que valores de  la serie  es convergente?
Al aplicar la regla de comparación. Si denota con  como se acostumbra, el n-ésimo término de la serie,después  Si.

Según la regla de comparación, la serie es divergente cuando. En estos términos, la serie dada converge cuando 
EJEMPLOS: 2




EJEMPLO: 3

Sea 

determinar su radiode convergencia y en que intervalo converge solución: Usando criterio de la raíz 

(-1,1) intervalo de convergencia

EJEMPLO: 4
Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de lasiguiente serie: 





EJEMPLO: 5.
Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de la siguiente serie: 

 la serie converge para cualquier valor de x 


EJEMPLO: 6
Hallar el radioy el intervalo de convergencia de la siguiente serie:

r = 1
Intervalo -1 < x < 1

EJEMPLO: 7
Hallar el radio y el intervalo de convergencia de la siguiente serie:

r = 1

Intervalo-1 < x < 1

TEOREMA DE LAS SERIES DE POTENCIAS
Para una serie de potencias dada

Solo existen 3 posibilidades:

i. La serie converge si
ii. La serie converge para todaiii. Existe  tal que la serie converge si 

NOTA
El número  se denomina Radio de Convergencia, en el caso 1  y en el caso 2 

NOTA, en general para cuando usamos criterio de series geométricas...