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EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA E INTEGRAL A LA ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN
 ϖ  DERIVADAS
Producción y productividad  
1. Un estudio de productividad en el turno matinal en una cierta fábrica indica que un trabajador medio que llega al trabajo a las 8.00 a.m. habrá ensamblado [pic] radio transistores x horas después.
¿En qué momento de la mañana esta actuando eltrabajador con máxima eficacia?
 Cantidad de radios producida por hora= [pic]
 Para hallar el momento en que es mas eficiente, encontraremos en que hora el trabajador alcanza su mayor nivel de producción, para ello derivaremos la función de producción e igualaremos la primera derivada a cero, mientras que para demostrar que realmente es la máxima producción calcularemos la segundaderivara, la cual debe ser negativa para demostrar el máximo nivel de producción.
 [pic][pic] 
[pic][pic][pic]               [pic]
 
t no puede ser -1 ya que el tiempo no se puede expresar en unidades negativas
 Ahora comprobaremos que es la máxima productividad.
 [pic]   y como   [pic] 
2. Un fabricante ha estado vendiendo bombillas a 6 dólares cada una y, a este precio, losconsumidores han estado comprando 6,000 bombillas por mes. El fabricante desearía elevar el precio y estima que por cada dólar de incremento en el precio se venderán 1,000 bombillas menos cada mes. El fabricante puede producir las bombillas a un coste de 4 dólares por bombilla. ¿A qué precio debería vender el fabricante las bombillas para generar al mayor beneficio posible?
        P1=6              Q1=6000
         P2=6+x              Q2=6000-1000x                C = 4x
 Ahora estableceremos la función beneficio la cual la derivaremos para poder calcular el máximo beneficio y si la 2da derivada es negativa comprobaremos lo dicho.
 


[pic]
[pic]
[pic]      y         [pic] 
Entonces diremos que el fabricante para obtener más beneficios lo que debe hacer es reducir el precio en 0.002 hasta5.998
3. Un cultivador de agrios de Tambogrande estima que si se plantan 60 naranjos, la producción media por árbol será de 400 naranjas. La producción media decrecerá en 4 naranjas por árbol adicional plantado en la misma extensión. ¿Cuántos árboles debería plantar el cultivador para maximizar la producción total?
 Árboles de naranja= AN1= 60            Producción media= PM1 = 400 
AN2 = 60+ x                                                PM2 = 400 – 4x  
Producción total = PT = (60 + x) (400 – 4x)
PT = 2400 + 160x – 4x2
Para maximizar PT            
[pic]
 PN = 60 + x = 60 + 20 = 80 
Oferta y demanda
4. Las funciones de oferta y demanda de un cierto articulo son S(p)=4p + 200 y D(p)= -3p +480, respectivamente. Halle el punto de equilibrio y el correspondiente número deunidades ofertadas y demandadas, y dibuje las curvas de oferta y demanda en el mismo conjunto de ejes. 
S(p)=4p + 200                        D(p)= -3p +480 
En punto de equilibrio:   S(p) = D(p) 
[pic][pic][pic]                4p + 200 = -3p +480                   7p = 280                  p = 40 
S(40)=4(40) + 200=360                      D(40)= -3(40) +480=360 
[pic]
 5. Suponga que las funciones de oferta y demanda de un cierto artículo son S(p) = ap + b y D(p) = cp + d, respectivamente.
a) ¿Qué puede decir sobre los signos de los coeficientes a, b, c y d si las curvas de oferta y demanda están orientadas como muestra el siguiente diagrama?
[pic]
Si S(p) = ap + b tiene el comportamiento de una oferta y considerando que en el eje de las ordenadasse encuentra q y en el de las abcisas p, concluimos que:
                                         a > 0       y      b < 0
Mientras que   D(p) = cp + d  tiene el comportamiento de una demanda, tenemos que:
                                         c < 0      y      d > 0 
b)  Exprese el precio de equilibrio en términos de los coeficientes a, b, c y d. 
En equilibrio   S(p)...