caldifvv
Páginas: 150 (37301 palabras)
Publicado: 25 de mayo de 2015
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS
´
CALCULO
DIFERENCIAL
EN VARIAS VARIABLES
Ram´on Bruzual
Marisela Dom´ınguez
Caracas, Venezuela
Julio 2005
Ram´on Bruzual
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve
Marisela Dom´ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve
Laboratorio de Formas en Grupos
Centro de An´alisis
Escuela deMatem´atica
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg
Pr´ologo
Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en la primera parte del curso de
An´alisis II de la Licenciatura en Matem´atica de la Universidad Central de Venezuela y son
el resultado de la experiencia de los autores en el dictado de dicho curso.
En este curso se debe dar una visi´onrigurosa del c´alculo en varias variables. Se supone
que el estudiante ya ha visto un curso riguroso de c´alculo en una variable, que domina
la topolog´ıa b´asica de la recta y que ha visto un curso introductorio de c´alculo en varias
variables.
Los siguientes temas son tratados en forma exhaustiva:
(1) Rn como espacio m´etrico:
M´etricas. Ejemplos, bolas, esferas, di´ametro.
Conjuntos abiertos,vecindades. Conjuntos cerrados.
M´etricas equivalentes.
Conjuntos densos. Separabilidad. Bases. L´ımites. Sucesiones de Cauchy. Completitud. Compacidad.
(2) L´ımites y continuidad de funciones de Rn en Rm .
(3) Derivadas en Rn , derivadas parciales y direccionales, gradiente.
Funciones compuestas y la regla de la cadena.
Teorema del valor medio. Aplicaciones geom´etricas, planos tangentes.
Derivadasde orden superior. F´ormula de Taylor.
Teoremas de la funci´on impl´ıcita y de la funci´on inversa.
Extremos, multiplicadores de Lagrange.
Tanto el trabajo de mecanograf´ıa como la elaboraci´on de los gr´aficos estuvo a cargo de
los autores. Agradecemos cualquier observaci´on o comentario que deseen hacernos llegar.
Ram´on Bruzual.
Marisela Dom´ınguez.
Julio 2005.
iii
Contenido
Cap´ıtulo 1.El espacio m´etrico Rn .
1
1. Nociones b´asicas de espacios vectoriales. Producto interno. Norma.
1
2. Definici´on de espacio m´etrico. Ejemplos. Bolas. Di´ametro.
4
3. Sucesiones.
6
4. Completitud.
9
5. Abiertos, cerrados, densidad, frontera, m´etricas equivalentes.
10
6. Funciones continuas.
14
7. Compacidad en Rn .
15
8. Espacios topol´ogicos.
16
Ejercicios 1.
19
Cap´ıtulo2. Funciones de Rn en Rm .
25
1. Conceptos B´asicos.
25
2. L´ımites.
31
3. Continuidad.
39
4. Funciones continuas en conjuntos compactos.
40
5. Transformaciones lineales y matrices.
42
Ejercicios 2.
45
Cap´ıtulo 3. Bases del c´alculo diferencial en varias variables.
51
1. El diferencial.
51
2. Derivadas de orden superior para funciones de dos variables.
59
3. Gradiente,divergencia, rotacional y laplaciano.
61
4. Funciones compuestas y la regla de la cadena.
62
5. Plano Tangente.
65
6. Derivadas direccionales.
67
7. Direcci´on de m´aximo crecimiento.
69
8. Teorema del valor medio.
70
9. Desarrollo de Taylor.
72
v
vi
CONTENIDO
10. C´alculos aproximados y errores.
77
11. M´aximos y m´ınimos.
78
Ejercicios 3.
85
Cap´ıtulo 4. El teorema de la funci´onimpl´ıcita.
95
1. El teorema del punto fijo.
95
2. El caso de una variable.
96
3. Algunas consecuencias del teorema del valor medio.
103
4. Teorema de la funci´on inversa.
105
5. Funciones definidas impl´ıcitamente.
111
6. Teorema de la Funci´on Impl´ıcita.
115
7. Introducci´on al concepto de superficie.
118
8. Multiplicadores de Lagrange.
125
Ejercicios 4.
133
Bibliograf´ıa139
´Indice
141
CAP´ITULO 1
El espacio m´
etrico Rn .
1. Nociones b´
asicas de espacios vectoriales. Producto interno. Norma.
´ n 1.1. Un espacio vectorial (sobre el cuerpo R de los n´
Definicio
umeros reales) es un
conjunto V en el que est´an definidas dos operaciones, + : V × V → V y · : R × V → V , que
satisfacen:
(i) x + y = y + x para todo x, y ∈ V ;
(ii) x + (y + z) = (x + y) + z para...
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS
´
CALCULO
DIFERENCIAL
EN VARIAS VARIABLES
Ram´on Bruzual
Marisela Dom´ınguez
Caracas, Venezuela
Julio 2005
Ram´on Bruzual
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve
Marisela Dom´ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve
Laboratorio de Formas en Grupos
Centro de An´alisis
Escuela deMatem´atica
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg
Pr´ologo
Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en la primera parte del curso de
An´alisis II de la Licenciatura en Matem´atica de la Universidad Central de Venezuela y son
el resultado de la experiencia de los autores en el dictado de dicho curso.
En este curso se debe dar una visi´onrigurosa del c´alculo en varias variables. Se supone
que el estudiante ya ha visto un curso riguroso de c´alculo en una variable, que domina
la topolog´ıa b´asica de la recta y que ha visto un curso introductorio de c´alculo en varias
variables.
Los siguientes temas son tratados en forma exhaustiva:
(1) Rn como espacio m´etrico:
M´etricas. Ejemplos, bolas, esferas, di´ametro.
Conjuntos abiertos,vecindades. Conjuntos cerrados.
M´etricas equivalentes.
Conjuntos densos. Separabilidad. Bases. L´ımites. Sucesiones de Cauchy. Completitud. Compacidad.
(2) L´ımites y continuidad de funciones de Rn en Rm .
(3) Derivadas en Rn , derivadas parciales y direccionales, gradiente.
Funciones compuestas y la regla de la cadena.
Teorema del valor medio. Aplicaciones geom´etricas, planos tangentes.
Derivadasde orden superior. F´ormula de Taylor.
Teoremas de la funci´on impl´ıcita y de la funci´on inversa.
Extremos, multiplicadores de Lagrange.
Tanto el trabajo de mecanograf´ıa como la elaboraci´on de los gr´aficos estuvo a cargo de
los autores. Agradecemos cualquier observaci´on o comentario que deseen hacernos llegar.
Ram´on Bruzual.
Marisela Dom´ınguez.
Julio 2005.
iii
Contenido
Cap´ıtulo 1.El espacio m´etrico Rn .
1
1. Nociones b´asicas de espacios vectoriales. Producto interno. Norma.
1
2. Definici´on de espacio m´etrico. Ejemplos. Bolas. Di´ametro.
4
3. Sucesiones.
6
4. Completitud.
9
5. Abiertos, cerrados, densidad, frontera, m´etricas equivalentes.
10
6. Funciones continuas.
14
7. Compacidad en Rn .
15
8. Espacios topol´ogicos.
16
Ejercicios 1.
19
Cap´ıtulo2. Funciones de Rn en Rm .
25
1. Conceptos B´asicos.
25
2. L´ımites.
31
3. Continuidad.
39
4. Funciones continuas en conjuntos compactos.
40
5. Transformaciones lineales y matrices.
42
Ejercicios 2.
45
Cap´ıtulo 3. Bases del c´alculo diferencial en varias variables.
51
1. El diferencial.
51
2. Derivadas de orden superior para funciones de dos variables.
59
3. Gradiente,divergencia, rotacional y laplaciano.
61
4. Funciones compuestas y la regla de la cadena.
62
5. Plano Tangente.
65
6. Derivadas direccionales.
67
7. Direcci´on de m´aximo crecimiento.
69
8. Teorema del valor medio.
70
9. Desarrollo de Taylor.
72
v
vi
CONTENIDO
10. C´alculos aproximados y errores.
77
11. M´aximos y m´ınimos.
78
Ejercicios 3.
85
Cap´ıtulo 4. El teorema de la funci´onimpl´ıcita.
95
1. El teorema del punto fijo.
95
2. El caso de una variable.
96
3. Algunas consecuencias del teorema del valor medio.
103
4. Teorema de la funci´on inversa.
105
5. Funciones definidas impl´ıcitamente.
111
6. Teorema de la Funci´on Impl´ıcita.
115
7. Introducci´on al concepto de superficie.
118
8. Multiplicadores de Lagrange.
125
Ejercicios 4.
133
Bibliograf´ıa139
´Indice
141
CAP´ITULO 1
El espacio m´
etrico Rn .
1. Nociones b´
asicas de espacios vectoriales. Producto interno. Norma.
´ n 1.1. Un espacio vectorial (sobre el cuerpo R de los n´
Definicio
umeros reales) es un
conjunto V en el que est´an definidas dos operaciones, + : V × V → V y · : R × V → V , que
satisfacen:
(i) x + y = y + x para todo x, y ∈ V ;
(ii) x + (y + z) = (x + y) + z para...
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