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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

Sistemas lineales y señales

Práctica N° 10

TEMA: Respuesta de un sistema LIVT utilizando Transformada de Laplace

Equipo:
Gabriela Alamilla Campos
Ricardo D. Reyes Espinosa

PROFESOR:
Dr. Eduardo Rodríguez Ángeles



TOLUCA, MÉXICO A 26 DE NOVIEMBRE DE 2014
Objetivo: obtener la respuesta de un sistemaLIVT aplicando la transformada de Laplace, y que determinar la función de respuesta al impulso, la función de respuesta a la frecuencia, la función de transferencia y la estabilidad absoluta del sistema


Introducción

Pierre Simon Marquéz de Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales campos deinterés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades, y el progreso personal. Prueba de sus talentos son:
La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de unaintegral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de lascondiciones iniciales a la misma ED.
Definición de la Transformada: Sea f una función definida para  , la transformada de Laplace de f(t) se define como:




Cuando tal integral converge
1.- La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera constante.
2.- La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable s
3.-Condiciones para la existencia de la transformada de una función: de orden exponencial, continua a trozos


Definición de la Transformada Inversa: la Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir:

Si es que acaso 

Esta definición obliga a que se cumpla: 

Y  


La transformada inversa de Laplace es la manera deconocer la función del tiempo que está siendo representada por una función , y se calcula por medio de la integral:




Donde es el valor tal que todos los puntos singulares de están a la izquierda de la línea en el plano complejo .


Existencia de la Transformada

Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para  de una función cualquiera:

Estardefinida y ser continua a pedazos en el intervalo 
Ser de orden exponencial 

La función de transferencia de un sistema se encuentra definida por la siguiente función con condiciones iniciales igual cero.



La función de transferencia es la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso del sistema.



La función de transferencia se relaciona con la función de respuesta a lafrecuencia por medio del cambio de variable.



La respuesta de un sistema se puede descomponer como donde es la respuesta de entrada cero del sistema y es la respuesta de estado cero del sistema.
Además, de que también se puede tener la descomposición , donde es la respuesta en estado transitorio del sistema y es la respuesta en estado estacionario del sistema.

En general, paraobtener la respuesta de un sistema LIVT se debe transformar a Laplace la ecuación diferencial del mismo, considerando valores de condiciones iniciales de la salida . Entonces, al despejar de la ecuación obtenida se tiene:



Donde es la respuesta de estado cero en Laplace y es la respuesta de entrada cero en Laplace. Por lo que, la salida se obtiene como:







Material y equipo a...