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Espacio vectorial
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Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se lesllamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares.
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espaciosvectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y losespacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectorialesproporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.
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[editar] Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto novacío, dotado de dos aplicaciones:
operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro 0, es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

operación externa tal que:
a)
b)
c)
d)
Los elementos de se llaman escalares.
Los elementos de se llaman vectores.
Véase también: Espacio euclídeo
Véasetambién: Vector (espacio euclídeo)
[editar] Observación
Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial:
* Si supiésemos que es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.
* Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de tendríamos probados los apartados a y b.
* Si no se dice lo contrario, .
[editar]Notaciones
* Un -espacio vectorial es un espacio vectorial sobre un cuerpo .
* u-v:=u+(-v), también (-u)+v:=-u+v.
* , se distingue del escalar cero por el contexto(este último aún no ha salido).
[editar] Propiedades
Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectores neutros, entonces:
* .
Unicidad del vector opuesto dela propiedad 4:
supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:
*
Unicidad del elemento en el cuerpo
supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:
*
Unicidad del elemento inverso en el cuerpo
supongamos que el inverso de a, no es único, es decir, sean y dos opuestos de , entonces, como elneutro es único:
*
Producto de un escalar por el vector neutro:
*
Producto del escalar 0 por un vector:
*
Si
* Si a=0 es cierto. Si u = 0.
Signos equivalentes:
* .
[editar] Notación
* -au:=-(au)=(-a)u=a(-u).
[editar] Primer ejemplo con demostración al detalle
Queremos ver que es un espacio vectorial sobre
Veamos pues que juega el papel de y el de :
Los...