calor especifico

Calor Espec´ıfico
Sara Ram´ırez,* Lorena Paola Robayo,** Julio C´esar Jaramillo,*** and Jorge Arturo Calder´on****
Universidad Nacional de Colombia, departamento de F´ısica
Temodin´
amica m´
odulo experimental
En esta pr´
actica se pretende hacer un estudio del calor espec´ıfico de diferentes metales en los
reg´ımenes de altas y bajas temperaturas, con el fin de determinar la conservaci´
on de laenerg´ıa, y
la teor´ıa de Debye. Se estudian cuatro metales diferentes, esta˜
no, zinc y dos metales mas que no
se conocen pero que con el estudio se puede inferir que son hierro y aluminio. Para esto se hacen
dos experimentos, uno a tamperatura ambiente y otro a bajas temperaturas con el uso de nitr´
ogeno
l´ıquido (77 K) y se obtiene que los resultados experimentales concuerdan muy bien con late´
oria
excepto para el caso del esta˜
no en donde las discrepancias entre los valores te´
oricos y experimentales
son muy altas.

I.

´
INTRODUCCION

Donde kB es la constante de Boltzmann. La capacidad
cal´orica en t´erminos de la energ´ıa interna es:

La capacidad calor´ıfica es una propiedad termodin´amica inherente de los materiales que consiste en variar la
temperatura en un material ungrado. La relaci´on de la
capacidad calor´ıfica es con el incremento de la temperatura ∆T y con el calor producido mediante la f´ormula:
C=

Q
m∆T

(1)

Siendo m la masa del material. En termodin´amica en
equilibrio, la capacidad calor´ıfica es una propiedad extensiva mientras que el calor especifico es una propiedad
termodin´
amica intensiva debido a que es una constante
en la materia. Las unidadesde la capacidad calor´ıfica son:

∂U
∂T

Cv =

Remplazando (2) en (1) obtenemos
Cv = N kB

[J]
[g][0 C]

(4)

En el caso de tres dimensiones Cv = 3N kB . F´ısicamente
describe que la capacidad cal´orica es independiente de la
temperatura. Sin embargo el resultado (3) no es valido
para bajas temperaturas si lo comparamos experimentalmente. En este caso podemos recurrir a la estad´ıstica
cu´antica.Seg´
un la mec´anica estad´ıstica cu´antica, el valor
esperado de la energ´ıa viene dada por:
∞

< ψn |
[C] =

(3)
V

ˆ

En e−Hβ |ψn >

n=0
∞

< E >=

(5)
ˆ
e−Hβ
|ψn >

< ψn |
n=0

y del calor especifico:
[c] =

Usando la ecuaci´on de valores propios en la mec´
anica
ˆ n >= En |ψn > obtenemos
cu´antica para la energ´ıa H|ψ
para el caso del oscilador arm´onico que el valor propio de
la energ´ıa es[J]
[0 C]

En el caso de los s´
olidos la energ´ıa t´ermica est´a asociada con las vibraciones at´
omicas en sus puntos de red
y anal´ıticamente podemos describir esta energ´ıa vibracional at´
omica por medio del oscilador arm´
onico cu´antico. Consideremos en el l´ımite cl´
asico un sistema de N
part´ıculas con 2N grados de libertad que se mueven bajo fuerzas arm´
onicas unidimensionales y cadapart´ıcula
tiene una energ´ıa cin´etica 12 kB T . Por lo tanto la energ´ıa
total interna:
U = N kB T

En =

n+

1
2

ω

(6)

Donde β = 1/kB T . Remplazando (5) en (4) y omitiendo
el factor 12 ω obtenemos:
∞

ne−n

ωβ

< E >= ω n=0
∞

(7)
e−n

ωβ

n=0

(2)

Podemos hacer un cambio de variable con x = n ω y
teniendo en cuenta que:
*
**
***
****

∞

sarramirezmon@unal.edu.co
lprobayop@unal.edu.cojcjaramilloq@unal.edu.co
jacalderonco@unal.edu.co

ne−nx

n=0
∞

e−nx
n=0

∞

=−

d
ln(
ne−nx )
dx
n=0

2
´esta expresi´on se conoce como la frecuencia de Debye y
se denota por ωD . La energ´ıa interna (10) en funci´
on de
la densidad de estados es dada por:

Adem´
as recordando la serie geom´etrica
∞

1
1 − e−x

e−nx =
n=0

U=
Entonces:
∞

g(ω)
0

ω
dω
−1

(15)

ωβ

e

Remplazando (14) en (11)obtenemos:

ne−nx

n=0
∞

ωD

L
πv0

=−
e−nx

d
ln
dx

1
1 − e−x

=

1
ex − 1

U=

n=0

e

ω
−1

(8)

ωβ

Usamos la expresi´
on (7) para definir la energ´ıa interna
de un s´
olido:
U=

e

k

ωk
−1

(9)

ωk β

El ´ındice k indica que sumamos sobre todos los modos
normales del s´
olido. F´ısicamente significa que las vibraciones est´
an cuantizadas de manera an´
aloga al campo
electromagn´etico con su...