calor y ondas

Cap´
ıtulo 7
Razones de cambio relacionadas
1

7.1

Razones de cambio relacionadas

Al definir la derivada de una funci´n y = f (x) en un punto fijo x0, se mencion´ que
o
o
f (x0 + h) − f (x0)
f (x) − f (x0 )
∆y
= l´
ım
= l´m
ı
x→x0
h→0
∆x→0 ∆x
h
x − x0

ım
f (x0 ) = l´

donde ∆y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + h) − f (x0 ) & ∆x = x − x0 = h son los incrementos de lasvariables
y & x, respectivamente.
Refiri´ndonos a estos incrementos podemos decir que:
e
• El incremento ∆y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + h) − f (x0 ), nos muestra el cambio que ha tenido la
variable y
• El incremento ∆x = x − x0 = h, nos muestra el cambio que ha tenido la variable x.
De esto se desprende que el cociente
∆y
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0)
=
=
∆x
x − x0
h
es una raz´n decambio que nos muestra el cambio que ha tenido la variable y, cuando la variable x
o
ha tenido un cambio ∆x.
Es decir es una raz´n que compara el cambio de la variable y, con respecto al cambio de la variable
o
x.
O sea que, es una raz´n que mide el cambio promedio de la variable y, a lo largo del intervalo limitado
o
por x0 & x0 + ∆x.
• Esto es, es la raz´n de cambio promedio de lafunci´n y = f (x) con respecto a x, a lo largo del
o
o
intervalo con extremos x0 & x0 + ∆x.
1

canek.azc.uam.mx: 5/ 4/ 2006

1

CAP´
ITULO 7.

7.1. RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS

∆y
nos estamos refiriendo a la raz´n de cambio promedio de la variable y
o
∆x→0 ∆x
cuando se consideran cambios cada vez m´s peque˜os en la variable x.
a
n
Podemos decir que con este l´mite se busca unaraz´n de cambio instant´nea de la variable y con respecto
ı
o
a
a la variable x.
Es decir, cuando hacemos que la longitud (| ∆x |) del intervalo limitado por x0 & x0 + ∆x tienda a cero,
“la raz´n de cambio promedio de y” se convierte en “la raz´n de cambio instant´nea de y”, por supuesto,
o
o
a
con respecto a x.
Ahora bien, al escribir l´
ım

Concretando y generalizando.
Si setiene que la variable w est´ en funci´n de la variable u, entonces decimos que w = φ(u).
a
o
Si ∆u es un incremento en la variable u, entonces:
1. ∆w = φ(u + ∆u) − φ(u) es el incremento de la variable w.
2.

φ(u + ∆u) − φ(u)
∆w
=
es la raz´n de cambio promedio de la varible w, a lo largo del intervalo
o
∆u
∆u
limitado por u & u + ∆u.
w = φ(u)

φ(u + ∆u)

•

∆w

φ(u))

•
∆uu
u

u + ∆u

dw
φ(u + ∆u) − φ(u)
∆w
= l´m
ı
= l´m
ı
es la raz´n de cambio instant´nea de la
o
a
∆u→0
∆u→0
du
∆u
∆u
variable w con respecto a la variable u.
dw
Es decir, la derivada
es la raz´n de cambio instant´nea de w con respecto a u.
o
a
du

3. φ (u) =

Comentario adicional.
En el caso particular en que la variable independiente es el tiempo t ≥ 0, es usualreferirse a la derivada
como una rapidez (o velocidad) de cambio, en lugar de decir raz´n de cambio instant´nea con respecto a
o
a
t. Por ejemplo:
dx
= φ (t) es la
dt
rapidez de cambio de la posici´n x = φ(t), que es la velocidad instant´nea del m´vil.
o
a
o

• si x = φ(t) es la posici´n de un m´vil en el instante de tiempo t ≥ 0, entonces
o
o

dv
= g (t) es la
dt
rapidez de cambiode la velocidad v = g(t), que es la aceleraci´n instant´nea del m´vil.
o
a
o

• si v = g(t) es la velocidad de un m´vil en el instante de tiempo t ≥ 0, entonces
o

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CAP´
ITULO 7.

7.1. RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS

Supongamos que tenemos una funci´n de la que queremos medir su raz´n de cambio. Si la funci´n se
o
o
o
encuentra relacionada con otras de las cuales es m´sfacil calcular la derivada y logramos que todas ellas
a
aparezcan en una misma igualdad podremos entonces igualar la derivada de ambos miembros y de aqu´
ı
despejar la raz´n de cambio deseada que aparecer´ ahora en t´rminos de las otras. Decimos que tenemos
o
a
e
un problema de razones de cambio relacionadas.
En este tipo de problemas es de vital importancia tener muy claro ¿qu´ es lo que...