Cambio De Bace

Cambio de base
El cambio de base se domina al procedimiento de cambiar las coordenadas de vector con respecto una base B y para encontrar las coordenadas con respecto a otra base B´.
Ejemplo 1.-El vector de coordenadas de x en R2 con respecto a la base (no normal)
B= {v1, v2}
= {(1, 0), (1, 2)}
Es (x)B = (3, 2). Determine las coordenadas de x con respecto a la base (normal)
B’= {u1,u2}
Solución:
Dado q (x)B = (3, 2). se puede escribir
X= 3v1 + 2v2 = 3(1, 0) + 2 (1, 2)= (5, 4)
Además, como (5, 4)=5(1, 0)+4(0, 1), se concluye que las coordenadas de con respecto a B’ están dadaspor
(x)B’ = (5, 4)
Ejemplo 2.- Determinación de un vector de coordenadas con respecto a una base no normal.
Encuentra el rector de cornadas de x= (1, 2,-1) en R3 con respecto a la base (nonormal).
B’= {u1, u2, u3}= {(1, 0, 1), (0, -1, 2), (2, 3, 5)}.
Solución:
Se empieza por escribir x como una combinación lineal de u1, u2 y u3.
X=c1u1,+c2u2 +c3u3
X=c1 (1, 0, 1) + c2 (0, -1, 2), + c3(2, 3, 5)}.
Al igual las componentes correspondientes se obtienen el siguiente sistema de ecuaciones lineales.
C1 +2c3=1
- c2 +3c3=2
c1+ 2c2 -5c3=-1

Después se utilizael método de Gauss-Jordan.
• Respuesta:
c1= 5, c2 = -8 y c3= -2



P [x]B ‘ [x]B
P se denomina matriz de transición de B’ a B, [x]B’ es la matriz decoordenadas de x con respecto a B’ y [x]B es la matriz de coordenadas de x con respecto a B. Al multiplicar por la matriz de transición P se cambia una< matriz de coordenadas con respecto a B’ en una matriz decoordenadas con respecto a B. Es decir:
P[x] B’ = [x]B Cambio de base B’ a B
Para efectuar un cambio de base de B a B’ se usa la matriz P-1 (la matriz de transición de B a B’) y se escribe[x]B’ =P-1[x]B Cambio de base B a B’

P [x]B ‘ [x]B
Lo cual se generalisa como se muestra a continuación:
B = {v1, v2 ,……., vn} y B’ ={u1, u2...