Cambio De Base (Álgebra)

Algebra Lineal
Problemas de cambio de base en
espacios vectoriales
Curso 2009–2010

Universidad de Oviedo
EPS de ingeniería de Gijón
Ingeniería Industrial
Dpto. Matemáticas

Ejercicio 1 Enel R-espacio vectorial R3 se consideran las bases
B1 = {(5, 3, 1), (1, −3, −2), (1, 2, 1)} ,

B2 = {(−2, 1, 0), (−1, 3, 0), (−2, −3, 1)}

calcule la matriz de cambio de base de B1 a B2 .SOLUCIÓN:
Para calcular la matriz asociada debemos calcular las coordenadas de los vectores de la base B2 respecto de los
vectores de la base B1 , es decir, debemos calcular los ai j ∈ R tales que:
(−2, 1,0) = a11 (5, 3, 1) + a21(1, −3, −2) + a31(1, 2, 1) = (5a11 + a21 + a31 , 3a11 − 3a21 + 2a31, a11 − 2a21 + a31)
(−1, 3, 0) = a12 (5, 3, 1) + a22(1, −3, −2) + a32(1, 2, 1) = (5a12 + a22 + a32 , 3a12 −3a22 + 2a32, a12 − 2a22 + a32)
(−2, −3, 1) = a13 (5, 3, 1) + a23(1, −3, −2) + a33(1, 2, 1) = (5a13 + a23 + a33, 3a13 − 3a23 + 2a33, a13 − 2a23 + a33)
Esto se reduce a la resolución de tres sistemasde ecuaciones lineales:


−2 = 5a11 + a21 + a31
 −1 = 5a12 + a22 + a32
 −2 =
1 = 3a11 − 3a21 + 2a31
3 = 3a12 − 3a22 + 2a32
;
; −3 =


0 = a11 − 2a21 + a31
0 = a12 − 2a22 + a32
1=
5a13 + a23 + a33

3a13 − 3a23 + 2a33

a13 − 2a23 + a33

Los tres tienen en común la matriz de coeficientes, de forma que podemos resolverlos simultáneamente sin más que
encontrar lamatriz escalonada reducida de:


5
1 1 −2 −1 −2
 3 −3 2
1
3 −3 
0
0
1
1 −2 1
Las columnas 4, 5 y 6 de la escalonada reducida será la matriz buscada.





5
1 1 −2 −1 −2
1 −2 10
0
1
1
F1 ↔F3
F2 −3F1
 3 −3 2
1
3 −3  − − →  3 −3 2
1
3 −3  − − →  0
−−
−−
F3 −5F1
1 −2 1
0
0
1
5
1 1 −2 −1 −2
0




1 −2
1
0
0
1
1
F −4F2
F ↔F3
−3 − →  0−−
3 −1
1
3 −6  −2− →  0
−−
0 −1
0 −6 −13 17
0



1 −2
1
0
01
1 −2
F +F
 0 −1
0 −6 −13 17  −1 − 3  0 −1
−→
0
0 −1 −17 −36 45
0
0



1
0
0 −5 −10 12
1
−F2...