cambio de coordenadas

CAMBIO DE COORDENADAS

Las coordenadas cilíndricas representan un punto P en el
espacio por medio de triadas ordenadas r, , z  en las que:
1. r y  y son coordenadas polares para la proyecciónvertical de P sobre el plano xy
2. Z es la coordenada rectangular vertical.
Las ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares
r, y , z  son las coordenadas cilíndricas r, , z  sony
x  r cos  ,
y  r sen  , z  z, r 2  x 2  y 2 , tan  
x

Ejemplo 1: describa la superficie cuya ecuación en coordenadas
cilíndricas es z  r
Solución: primero convertimos a unaecuación en coordenadas
rectangulares. De la primera ecuación en (2) tenemos
z 2  r 2  x 2  y 2 reconocemos la ecuación z 2  x 2  y 2 como la de
un cono circular cuyo eje es el eje z

Ejemplo 2:Calcule la ecuación en coordenadas cilíndricas para el
2
2
2
elipsoide 4 x  4 y  z  1
2

2

2

Solución. Puesto que r  x  y , de las ecuaciones, tenemos que

z 2  1  4( x 2  y 2 ) 1  4r 2 Así que la ecuación del elipsoide en
2
2
coordenadas cilíndricas es z  1  4r

Prof. Enrique Mateus Nieves.
Doctorando en Educación Matemática.

Cálculo multivariado
Definicion:las coordenadas esfericas represntan un punto P
en el espacio por medio de triadas ordenadas  , ,  en donde:
1.  es la distancia de P al origen,


2.  , es el ángulo que OP forma con el jez positivo 0    
3.  es el ángulo de las coordenadas cilíndricas.
Las ecuaciones que relacionan las coordenadas esféricas con las
coordenadas cartesianas y cilíndricas son:

r   sen  , x r cos    sen  cos  ,
z   cos  , y  r sen    sen  sen  ,

  x2  y2  z2  r 2  z2

Ejemplo 3: El punto 2,  ,   está dado en coordenadas esféricas. Encuentre suscoordenadas
4 3
rectangulares
Solución: De las ecuaciones tenemos:

 3   12 



cos  2 
 2  2  
3
4



 3  1 



y   sen  sen   2 sen sen  2 
 2  2 ...