Camelidos

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Estructuras Algebraicas

1.1

Leyes de composici´
on, internas y externas.

Al comenzar esta unidad se recomienda volver a revisar los conceptos vistos en el curso de
Algebra I en la unidad de funciones, aqui recordaremos el concepto de funci´on.
• Sean A y B conjuntos, recordemos que f es una funci´on de A en B s´i y s´olo s´i f es
una relaci´on que asigna o hace corresponder a cada elementox ∈ A un u
´nico elemento
y ∈ B.
• La expresi´on ” f es una funci´on de A en B ” se denota por : ” f : A → B ”
• El u
´nico elemento y ∈ B que la funci´on f ,asigna al elemento x ∈ A, se llama la im´agen
f
de x con respecto a la funci´on f y se denota por y = f(x), o por x −→ y = f(x) es
decir :
Si f : A → B y x ∈ A, entonces f(x) representa a la im´agen de x con respecto a la
funci´on fRecordemos adem´as que si f : A → B y x ∈ A entonces f(x) puede ser obtenida por
una asignaci´on arbitraria de la funci´on, o al reemplazar x en la f´ormula o en el(los)
procedimiento(s) de asignaci´on que define a f.
Ejemplo
• Sean UTA = {x / x es un alumno de la UTA} y N,

entonces la relaci´on ε, que asigna a cada x ∈ UTA la edad de x expresada en a˜
nos
es claramente una funci´on de UTA en N., es decirε : UTA →N , en este caso
ε(Juan Perez Molla) =Edad de Juan Perez Molla expresada en a˜
nos.
El procedimiento que define a ε podr´ia expresarse por la f´ormula :
ε(x) = 2010 − (A˜
no de nacimiento de x)

• La expresi´on

g:

RxR → R
g
(x, y) −→ 3x2 +5xy

se lee ” g es una funci´on de RxR en R, tal que g asigna a cada par (x, y) el real
3x2 +5xy ”
luego la im´agen del par (2, 4) ser´a el real 3 ·(2)2 + 5 · 2 · 4 = 52.

En lugar de escribir g((2, 4)) = 52 simplemente denotaremos g(2, 4) = 52, en general
escribiremos g(x, y) = 3x2 +5xy
El concepto de operaci´
on binaria o ley de composici´
on es una abstracci´on y
generalizaci´on de las operaciones usuales de adici´on y multiplicaci´on ( + y · ) definidas
en nuestros sistemas num´ericos ( N, Z, Q, R y C ), ejemplos de ellas son las quehemos
definido entre vectores de Rn , R3 y R (como + en Rn , producto punto en Rn , producto
cruz en R3 y el producto real por vector )
Definition 1 Sean A, B, C conjuntos no vac´ios, llamaremos una operaci´
on o una ley
de composici´
on entre los conjuntos A, B, C a cuaquier funci´on f de la forma:
f:

AxB → C
f
(a, b) −→ f(a, b)

Es decir una operaci´on o una ley de composici´on es una funci´on cuyoDominio es un
producto cartesiano de conjuntos.

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La funci´on g definida en el ejemplo anterior es una operaci´on binaria en efecto dominio
de g es un producto cartesiano
g : RxR → R
con g(x, y) = 3x2 +5xy
g
2
(x, y) −→ 3x +5xy
donde las operaciones indicadas en la expresi´on 3x2 +5xy son las leyes usuales + y ·
definidas en R
Notaci´on: En lugar de emplear las letras usuales de funciones, lasoperaciones binarias
se representan usualmente con simbolos especiales tales como:
+, ∗, ÷, ·, ×, , , , ◦, •, ⊕, , ⊗, ..., ∪, ∩
Si ∗ es una ley de composici´on entre los conjuntos A, B, C,entonces la im´agen de (a, b)
con respecto a la funci´on ∗, usualmente se denota por a ∗ b en lugar de la notaci´on funcional
∗ : AxB → C
∗(a, b) y esta ley se representa por
(a, b) −→ a ∗ b
Por ejemplo elproducto punto definido en Rn es una operaci´on binaria o una ley de
composici´on en efecto:
+ : Rn xRn → R
n
−
→
−
→
→
→
ai bi
(−
a , b ) −→−
a·b =
i=1

−
→
→
donde −
a = (a1 , a2 , a3 , .., an ) y b = (b1 , b2 , b3 , .., bn )
Definition 2 Sea A un conjunto no vac´io Diremos que la ley ∗ es una Operaci´
on binaria
´
´
en A o una Ley de Composici´
on Interna en A si y s´olo si
∗ : AxA → A
(a, b) −→ a ∗b
Es decir ∗ asigna a cada par ordenado de elementos de A, un u
´nico y determinado tercer
elemento del mismo conjunto A.
Al elemento a ∗ b lo denominaremos la composici´on de a con b, o a compuesto con b
• Ejemplos
• Si Ω es un conjunto no vac´io y P(Ω) denota al conjunto potencia del conjunto fijo Ω,
entonces ∪ y ∩ son operaciones binarias en P(A)., en efecto
∪:

P(Ω)xP(Ω) → P(Ω)
(A, B) −→ A...