Caminata Aleatoria

Caminata Aleatoria:
La caminata aleatoria o paseo aleatorio o camino aleatorio, abreviado en inglés como RW (Random Walks), es una formalización matemática de la trayectoria que resulta de hacer sucesivos pasos aleatorios. Por ejemplo, la ruta trazada por una molécula mientras viaja por un líquido o un gas, el camino que sigue un animal en su búsqueda de comida, el precio de una acciónfluctuante y la situación financiera de un jugador pueden tratarse como una caminata aleatoria. El término caminata aleatoria fue introducido por Karl Pearson en 1905.
Propiedades de las Caminatas Aleatorias Simples :
Para iniciar el estudio de caminatas aleatorias conviene recordar la definición de independencia de una colección de variables aleatorias: se dice que (Xn, n ≥ 1) es una sucesión devariables independientes, si para cada n-´eada de enteros (k1, k2, · · · , kn) distintos se cumple que las variables aleatorias Xk1 , Xk2 , · · · , Xkn son independientes.
Sea (Xn, n ≥ 1) una sucesión de variables aleatorias i.i.d. con distribución común dada por P(X1 = 1) = 1 − P(X1 = −1) = 1 − q = p. La sucesión (Sn, n ≥ 0), donde Sn = S0 + Xn i=1 Xi , es llamada caminata aleatoria simple. En general,S0 puede ser constante o una variable aleatoria, se dice que la caminata inicia en S0. Si p = q = 1 2 es llamada caminata aleatoria simple simétrica. Las caminatas aleatorias son ´útiles para modelar varios fenómenos: podemos usarlo para modelar la posición de una partícula que se mueve en los enteros, a cada paso la partícula puede avanzar o retroceder por un paso con probabilidad p y 1−p,respectivamente. Además, la dirección (izquierda o derecha) es independiente de los pasos anteriores. Asimismo pueden servir para modelar un juego de apuestas donde en cada jugada se pierde o se gana una unidad. Las caminatas aleatorias simples se grafican en el plano cartesiano con los puntos (n, Sn) ∞ n=0 uniendo los puntos vecinos con líneas rectas con pendiente 1 ´o -1. A la grafica resultante se lellama trayectoria o realización, y dado que es trata de una sucesión de variables aleatorias, para ω ∈ Ω se tiene una trayectoria o realización. La siguiente grafico muestra una realización de una caminata aleatoria que inicia en 0:

Procesos Aleatorios o Estocástico:
Un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar una sucesión devariablesaleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, general mente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, pueden estarcorrelacionadas o no.
Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o efectos aleatoriosconstituye un proceso estocástico.

Tipos de Procesos:
Tipos de Procesos Aleatorios
Losprocesos aleatorios son clasificados de acuerdo a las características de t y de la variable aleatoria X(t) en el instante t. Si t tiene un rango de valores continuo dentro de uno o varios intervalos en la recta real R1, entonces X(t) es llamado un proceso aleatorio de tiempo continuo. Si t puede tomar una cantidad finita, o infinita numerable, de valores, entonces X(t) es llamado un procesoaleatorio de tiempo discreto, o una secuencia aleatoria. Generalmente se denota a las secuencias aleatorias por X(n), donde n representa a tn.

X(t) ó X(n) es un proceso (o secuencia) con estados o valores discretos si los valores que puede tomar son finitos (o infinito numerable). Si no, es un proceso (o secuencia) aleatorio con continuidad de valores o estados (no hay saltos). Notar que continuo odiscreto se refiere a las características de la amplitud de X(t), y proceso y secuencia a las características de t.

Otro atributo que es usado para clasificar a los procesos aleatorios es la dependencia de la estructura probabilística de X(t) con t. Si cierta distribución de probabilidad o promedio no depende de t, entonces el proceso se denomina estacionario. Si no, es llamado no estacionario....